Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，⊙A與邊AC、AB交于點D，E，⊙A的半徑是1，若點F為BC的中點，BF=$\sqrt{3}$，求證：直線BC與⊙A相切．

Answer 1

分析 連結(jié)AF，如圖，先利用等腰三角形的性質(zhì)得AF⊥BC，再利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算出AF=1，從而可判斷AF為⊙A的半徑，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．

解答 證明：連結(jié)AF，如圖，
∵AB=AC，點F為BC的中點，
∴AF⊥BC，
在Rt△ABF中，∵∠B=30°，BF=$\sqrt{3}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BF=1，
而⊙A的半徑是1，
∴AF為⊙A的半徑，
而AF⊥BC，
∴直線BC與⊙A相切．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．解決問題的關(guān)鍵是證明點A到BC的距離等于半徑1．