Question

8．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0.5，1），下列結(jié)論：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b²=4a；④（a+c）²-b²＜0．其中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由拋物線開口方向得到a＜0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方得到c＞0，可對(duì)①進(jìn)行判斷；由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=$\frac{1}{2}$，得到a+b=0，可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)的各數(shù)對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)x=1和x=-1時(shí)的函數(shù)值的符號(hào)，可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答 解：①∵拋物線圖象開口向下，且與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸，
∴a＜0，c＞0．
∴ac＜0，正確；
②∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0.5，1），
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{2a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=-b，即a+b=0，正確；
③∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），
∴有$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=1，即4ac-b²=4a，正確；
④當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c＞0，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c＜0，
則（a-b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）²-b²＜0，正確．
正確的有4個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2a}$；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．