Question

17．如圖，在任意的△ABC中，分別以AB和AC為腰作等腰△ABE和等腰△ACD，AB=AE，AC=AD，且∠BAE+∠CAD=180°，連接DE，延長AC交DE于F．
（1）求證：∠CAB=∠AED+∠ADE；
（2）若∠ACB=∠BAE=∠CAD=90°，如圖2，求證：BC=2AF；
（3）若在△ABC中，如圖3所示作等腰△ABE和等腰△ACD，AB與DE交于點F，F(xiàn)為DE的中點，請問（2）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，延長DA至G點，根據已知條件推出∠EAG+∠GAB+∠CAD=180°，由∠GAB+∠BAC+CAD=180°，于是得到∠EAB=∠CAB，根據三角形的外角的性質得到∠EAB=∠AED+∠ADE，即可得到結論；
（2）如圖2，過E點作DA延長線的垂線，垂足為H，由（1）可知，∠EAH=∠BAC，推出△AHE≌△ACB，根據全等三角形的性質得到EH=BC，AH=AC，于是推出AF為△DHE中位線，根據三角形中位線的性質即可得到結論；
（3）如圖，延長DA至M點，使AM=DA，連接EM，由于∠BAE+∠CAD=180°，∠CAD+∠CAM=180°，于是得到∠BAE=∠CAM推出∠BAC=CAM，證得△BAC≌△EAM，根據全等三角形的性質得到BC=EM，推出AF為△DEM中位線，根據三角形中位線的性質即可得到結論．

解答 證明：（1）如圖1，延長DA至G點，
∵∠BAE+∠CAD=180°，
即∠EAG+∠GAB+∠CAD=180°，
∵∠GAB+∠BAC+CAD=180°，
∴∠EAB=∠CAB，
∵∠EAB=∠AED+∠ADE，
∴∠CAB=∠AED+∠ADE，

（2）如圖2，過E點作DA延長線的垂線，垂足為H，
由（1）可知，∠EAH=∠BAC，
在△AHE和△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHE=∠ACB}\\{∠EAH=∠BAC}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△ACB，
∴EH=BC，AH=AC，
∵AC=AD，
∴AH=AD，
∵∠EHA=∠FAD=90°，
∴AF∥EF，
∵A為DH中點，
∴AF為△DHE中位線，
∴EH=2AF，
∴BC=2AF，

（3）成立，
如圖，延長DA至M點，使AM=DA，連接EM，
∵∠BAE+∠CAD=180°，
∠CAD+∠CAM=180°，
∴∠BAE=∠CAM，
∴∠BAE+∠CAC=∠CAM+∠EAC，
即∠BAC=CAM，
∵AM=AD，AD=AC，
∴AM=AC，
在△BAC和△EAM中，
$\left\{\begin{array}{l}BA=EA\\∠BAC=∠EAM\\ AC=AM\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△EAM，
∴BC=EM，
∵F、A分別為DE、DM中點，
∴AF為△DEM中位線，
∴EM=2AF，
∴BC=2AF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形中位線的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．