Question

9．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為BC的中點，點E、F分別在邊AB和邊AC上，且∠EDF=90°，則下列結(jié)論不一定成立的是（　�。�

• A． △ADF≌△BDE
• B． S_{四邊形AEDF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC
• C． BE+CF=$\sqrt{2}$AD
• D． EF=AD

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AD=BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BDE=∠ADF，于是得到△ADF≌△BDE，證得S_△ADF=S_△BDE，推出S_{四邊形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=S_△ADE+S_△BDE-S_△ABD，得到S_{四邊形AEDF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=BE，等量代換得到BE+CF=AF+CF=AC=$\sqrt{2}$AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AD=$\frac{1}{2}$BC，當EF∥BC時，EF=$\frac{1}{2}$BC，而EF不一定平行于BC，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵∠BAC=90°，AB=AC，點D為BC的中點，
∴AD=BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠ADE=∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△ADF與△BDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DAF}\\{AD=BD}\\{∠ADF=∠BDE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDE，
∴S_△ADF=S_△BDE，
∵S_{四邊形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=S_△ADE+S_△BDE-S_△ABD，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_{四邊形AEDF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵△ADF≌△BDE，
∴AF=BE，
∴BE+CF=AF+CF=AC=$\sqrt{2}$AD，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
當EF∥BC時，EF=$\frac{1}{2}$BC，
而EF不一定平行于BC，
∴EF不一定等于$\frac{1}{2}$BC，
∴EF≠AD，
故選D．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積的計算，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．