Question

在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象可以看做是：將x軸所在的直線繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度角后的圖形，若它與反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象分別交于第一、第三象限的點(diǎn)B，D，已知點(diǎn)A（=m，0），C（m，0）．
（1）直接判斷并填寫(xiě)：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是

 

；四邊形ABCD

 

（填“能”或“不能”）是菱形．
（2）若m=2，且四邊形ABCD為矩形，求B點(diǎn)的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)角a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由于反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，所以點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則OB=OD，又OA=OC，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得出四邊形ABCD的形狀，然后假設(shè)四邊形ABCD為菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC與BD互相平分，又AC在x軸上，所以BD應(yīng)在y軸上，這與“點(diǎn)B、D分別在第一、三象限”矛盾，所以可得出四邊形ABCD不可能為菱形；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OA=OB=OC=OD=2，過(guò)B作BE⊥x軸于E，由點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

3

x

上，設(shè)B（a，

3

a

），根據(jù)勾股定理求出a的值，繼而可得α的值以及B點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
四邊形ABCD不能是菱形．理由如下：
若四邊形ABCD為菱形，則對(duì)角線AC⊥BD，且AC與BD互相平分，
∵點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-m，0）、（m，0），
∴點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，且AC在x軸上，
∴BD應(yīng)在y軸上，
這與“點(diǎn)B、D分別在第一、三象限”矛盾，
∴四邊形ABCD不可能為菱形；

（2）∵m=2，四邊形ABCD為矩形，
∴OA=OB=OC=OD=2，
過(guò)B作BE⊥x軸于E，
∵點(diǎn)B在y=

3

x

的圖象上，
∴設(shè)B（a，

3

a

），
在Rt△BOE中，

OE2+BE2

=OB，
即a²+

3

a2

=4，
解得：a₁=1，a₂=

3

，a₃=-1，a₄=-

3

，
∵點(diǎn)B和點(diǎn)D分別在第一、第三象限，
∴a₁=1，a₂=

3

，
即B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

3

）或（

3

，1），
tanα=

3

或

3

3

，
∴旋轉(zhuǎn)角a為60°或30°．
故答案為：平行四邊形，不能．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形、菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．