Question

已知，正方形DEFG內(nèi)接于△ABC中，且點(diǎn)E、F在BC上，點(diǎn)D，G分別在AB，AC上．

（1）如圖①，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，求正方形的邊長；
（2）如圖②，若S_△ADG=1，S_△BDE=3，S_△FCG=1，求正方形的邊長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理求出BC，求出BC邊上的高AM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出方程，求出方程的解即可．
（2）過A作AM⊥BC于M，交DG于N，設(shè)正方形DEFG的邊長是a，AN=b，根據(jù)三角形面積公式求出BE=3b，CF=b，ab=2，推出b=

2

a

①，根據(jù)S_{正方形DEFG}=S_△ABC-（S_△ADG+S_△BDE+S_△CFG）求出a=2b②，由①②即可求出答案．

解答：解：（1）設(shè)正方形DEFG的邊長是x，
∵△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，
∴由勾股定理得：BC=5，
過A作AM⊥BC于M，交DG于N，
由三角形面積公式得：

1

2

AB×AC=

1

2

BC×AM，
∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴AM=2.4，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DG=GF=EF=DE=MN=x，DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

DG

BC

=

AN

AM

，
∴

x

5

=

2.4-x

2.4

，
x=

60

37

，
即正方形DEFG的邊長是

60

37

；

（2）過A作AM⊥BC于M，交DG于N，
設(shè)正方形DEFG的邊長是a，AN=b，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DG=GF=EF=DE=MN=a，DG∥BC，
∵S_△ADG=1，S_△BDE=3，S_△FCG=1，
∴

1

2

ab=1，

1

2

BE•a=3，

1

2

CF•a=1，
∴BE=3b，CF=b，
∴S_△ADG+S_△BED+S_CFG=

1

2

ab+

3

2

ab+

1

2

ab=1+3+1=5，
∴ab=2，
∴b=

2

a

①，
∵S_{正方形DEFG}=S_△ABC-（S_△ADG+S_△BDE+S_△CFG）
=

1

2

（BE+EF+CF）×（AN+MN）-（S_△ADG+S_△BDE+S_△CFG）
=

1

2

（a+4b）（a+b）-5=a²，
∴a=2b②，
由①②得：a=2，
即正方形的邊長是2．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形面積公式，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方．