Question

已知△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O₁分別交AC、BC于兩D、E點，過B點的切線交OE的延長線于點F，連FD、BD、OD，下列結論：①四邊形ODCE是平行四邊形；②E是△BFD的內心；③E是△FDO的外心；④∠C=∠BFD；其中正確的有（　�。﹤�．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心,等腰三角形的性質,平行四邊形的判定,三角形的外接圓與外心,切線的性質

專題：

分析：首先利用三角形的中位線定理證明OE∥AC，然后證得△FDO≌△FBO，可以得到DF是圓的切線，然后利用內心以及外心的定義和的等腰三角形的性質：等邊對等角即可作出判斷．

解答：解：連接AE，
∵AB是直徑，
∴AE⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BE=CE，
又∵OA=OB，
∴OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAC，∠EOD=∠ADO，
∵∠BAC=∠ADO，
∴∠BOE=∠EOD，
在△FDO和△FBO中
∵

DO=OB ∠DOF=∠BOF OF=OF

，
∴△FDO≌△FBO
∴∠ODF=∠OBF=90°，
即△FDO是直角三角形，DF是圓的切線．
如果四邊形ODCE是平行四邊形，則OD∥BC，則∠BEO=∠EOB=∠DOE
則△OBE是等邊三角形，從而得到△ABC是等邊三角形，與已知不符，故①是錯誤的；

∵FD、FB是圓的切線，
∴FD=FB，
又∵OB=OD
∴OF是BD的中垂線，
∴

DE

=

BE

，E在∠DFB的平分線上，
∴E在∠FBD的平分線上，
則E是△BFD的內心，故②正確；

Rt△DOF中，若E是△FDO的外心，則E是OF的中點，可以得到△ODE是等邊三角形，則△ABC是等邊三角形，與已知不符，故③是錯誤的；

設∠C=x°，則∠A=180-2x°，
則在直角△ABD中，∠ABD=90°-（180-2x）=2x-90°，
∵BF是切線，則∠ABF=90°，
∴∠DBF=90°-∠ABD=90°-（2x-90）°=180-2x°，
在等腰△BDF中，∠F=180°-2∠DBF=180°-2（180-2x）°=4x-180°，
而4x-180與x不一定相等，故④不正確．
故正確的只有②．
故選A．

點評：此題主要考查了三角形的內心、外心以及切線的判定，解答的關鍵是正確證得DF是圓的切線．