Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=1，以邊AB為直徑向正方形內(nèi)作半圓，自點(diǎn)C、D分別作半圓的切線CE、DF，則線段EF的長(zhǎng)為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：設(shè)AB中點(diǎn)為O，連接OC交BE于點(diǎn)G，在Rt△OBC中可求得OC，利用等積法可求得BG，則可求得BE的長(zhǎng)，在Rt△ABE中可求得AE，過(guò)E作EH垂直AB交AB于點(diǎn)H，由條件可知△AHE∽△AEB，利用相似比可求得AH，利用對(duì)稱(chēng)性知EF=AB-2AH，可求出EF的長(zhǎng)．

解答：解：設(shè)AB中點(diǎn)為O，連接OC，BE，相交于點(diǎn)G，
∵CB⊥AB，
∴BC為半圓切線，且CE為半圓切線，
∴OC⊥BE，BG=EG，
在Rt△OBC中，BC=1，OB=

1

2

AB=

1

2

，由勾股定理可求得OC=

5

2

，
利用等積法可得：OC•BG=BC•OB，即

5

2

×BG=1×

1

2

，
∴BG=

5

5

，BE=

2 5

5

，
∵AB為直徑，
∴△AEB為直角三角形，AB=1，BE=

2 5

5

，由勾股定理可求得AE=

5

5

，
過(guò)E作EH⊥AB交AB于點(diǎn)H，則△AHE∽△AEB，
∴

AH

AE

=

AE

AB

，即

AH

5 5

=

5 5

1

，解得AH=

1

5

，
由對(duì)稱(chēng)性可知EF=AB-2AH=1-

2

5

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)及正方形性質(zhì)、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，利用條件求出EF到AB的距離即AH是解題的關(guān)鍵．