Question

若x為整數(shù)，3＜x＜200，且x²+（x+1）²是一個完全平方數(shù)，則整數(shù)x的值等于

20或119

．

Answer 1

分析：可設(shè)x²+（x+1）²=v²，則（2x+1）²=2v²-1．令u=2x+1，則u²-2v²=-1．即佩爾方程，求出其正整數(shù)解，從而得到整數(shù)x的值．

解答：解：設(shè)x²+（x+1）²=v²，則（2x+1）²=2v²-1．
令u=2x+1，則u²-2v²=-1．
其為佩爾方程，其基本解為（u₀，v₀）=（1，1）．
其全部正整數(shù)解可由un+vn=（u₀+v₀）²n+1得到．
其中，（u₁，v₁）=（7，5），（u₂，v₂）=（41，29），（u₃，v₃）=（239，169），u₄＞400．
故x=20或119．
故答案為：20或119．

點評：本題考查了完全平方數(shù)和解佩爾方程，解題的關(guān)鍵是得出佩爾方程，求得其正整數(shù)解．