Question

2．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，把矩形ABCD沿直線MN翻折，點B落在邊AD上的E點處，若AE=2AM，那么EN的長等于3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設AM=x，表示出EM=BM=6-x，AE=2x，再利用勾股定理列出方程求出x，然后求出BM，AE，過點N作NF⊥AD于F，求出△AME和△FEN，再利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．

解答 解：設AM=x，則EM=BM=6-x，AE=2AM=2x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴在Rt△AME中，由勾股定理得，AM²+AE²=EM²，
即x²+（2x）²=（6-x）²，
整理得，x²+3x-9=0，
解得x₁=$\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{-3-3\sqrt{5}}{2}$（舍去），
所以，BM=6-$\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}$=$\frac{15-3\sqrt{5}}{2}$，AE=-3+3$\sqrt{5}$，
過點N作NF⊥AD于F，易求△AME∽△FEN，
所以，$\frac{AE}{FN}=\frac{EM}{EN}$，
即$\frac{-3+3\sqrt{5}}{6}=\frac{\frac{15-3\sqrt{5}}{2}}{EN}$，
解得EN=3$\sqrt{5}$．
故答案為：3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了翻折變換的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，作輔助線構造出相似三角形是解題的關鍵，難點在于利用勾股定理列方程求出AM的長度．