Question

已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，在正方形ABCD外有一點(diǎn)E，滿足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）求證：△CPB≌△AEB；
（2）若PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明AB=BC；直接證明△CPB≌△AEB，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖，作輔助線；證明PC=AE，∠PBE=90°；證明PE²+PA²=AE²，得到∠APE=90°，即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖，∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=CB；
在△CPB與△AEB中，

BC=BA ∠CBP=∠ABE BP=BE

，
∴△CPB≌△AEB（SAS）．
（2）如圖，連接PE．
∵△CPB≌△AEB，且∠ABE=∠CBP，
∴PC=AE，∠PBE=∠ABC=90°；
∴∠BPE=∠BEP=45°；
∵PA：PB：PC=1：2：3，
∴設(shè)PA=λ，則PB=2λ，PC=3λ；
∴PE²=（2λ）²+（2λ）²=8λ²，
∵PE²+PA²=（3λ）²，
∴PE²+PA²=AE²，
∴∠APE=90°，而∠BPE=45°，
∴∠APB=135°．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及其應(yīng)用等幾何知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題；應(yīng)牢固掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)．