Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上任意點，AF平分∠EAD，交CD于點F．

(1)如圖1，若點F恰好為CD中點，求證：AE=BE+2CE；

(2)在(1)的條件下，求的值；

(3)如圖2，延長AF交BC的延長線于點G，延長AE交DC的延長線于點H，連接HG，當CG=DF時，求證：HG⊥AG．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析

【解析】

（1）延長BC交AF的延長線于點G，利用“AAS”證△ADF≌△GCF得AD＝CG，據此知CG＝BC＝BE＋CE，根據EG＝BE＋CE＋CE＝BE＋2CE＝AE即可得證；

（2）設CE＝a，BE＝b，則AE＝2a＋b，AB＝a＋b，在Rt△ABE中，由AB2＋BE2＝AE2可得b＝3a，據此可得答案；

（3）連接DG，證△ADF≌△DCG得∠CDG＝∠DAF，再證△AFH∽△DFG得，結合∠AFD＝∠HFG，知△ADF∽△HGF，從而得出∠ADF＝∠FGH，根據∠ADF＝90°即可得證．

解：(1)如圖1，延長BC交AF的延長線于點G，

∵AD∥CG，

∴∠DAF=∠G，

又∵AF平分∠DAE，

∴∠DAF=∠EAF，

∴∠G=∠EAF，

∴EA=EG，

∵點F為CD的中點，

∴CF=DF，

又∵∠DFA=∠CFG，∠FAD=∠G，

∴△ADF≌△GCF(AAS)，

∴AD=CG，

∴CG=BC=BE+CE，

∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；

(2)設CE=a，BE=b，則AE=2a+b，AB=a+b，

在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即(a+b)2+b2=(2a+b)2，

解得b=3a，b=﹣a(舍)，

∴；

(3)如圖2，連接DG，

∵CG=DF，DC=DA，∠ADF=∠DCG，

∴△ADF≌△DCG(SAS)，

∴∠CDG=∠DAF，

∴∠HAF=∠FDG，

又∵∠AFH=∠DFG，

∴△AFH∽△DFG，

∴，

又∵∠AFD=∠HFG，

∴△ADF∽△HGF，

∴∠ADF=∠FGH，

∵∠ADF=90°，

∴∠FGH=90°，

∴AG⊥GH．