Question

1．已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，現(xiàn)將一個(gè)足夠大的直角三角形的頂點(diǎn)P放在斜邊AC上．
（1）設(shè)三角板的兩直角邊分別交邊AB，BC于點(diǎn)M，N．
①當(dāng)點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)時(shí)，分別作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，得到圖1，寫出圖中的一對(duì)全等三角形；
②在①的條件下，寫出與△PEM相似的三角形，并直接寫出PN與PM的數(shù)量關(guān)系．
（2）移動(dòng)點(diǎn)P，使AP=2CP，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中三角板的兩直角邊分別交邊AB，BC于點(diǎn)M，N（PM不與邊AB垂直，PN不與邊BC垂直）；或者三角板的兩直角邊分別交邊AB，BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，N．
①請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并選擇其中一種圖形證明你的結(jié)論；
②在①的條件下，當(dāng)△PCN是等腰三角形時(shí)，若BC=3cm，則線段BN的長(zhǎng)是1cm或5cm．

Answer 1

分析 （1）①求出∠AEP=∠B=∠PFC=90°，∠APE=∠C=60°，根據(jù)AAS推出兩三角形全等即可；②根據(jù)已知條件得到AB=$\sqrt{3}$BC，求出PE=$\frac{1}{2}$BC，PF=$\frac{1}{2}$AB，根據(jù)相似三角形的判定推出△PFN∽△PEM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即可得出答案．
（2）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AP}{PC}=\frac{PE}{PF}$=2，設(shè)CF=x，則PE=2x，求出PF=$\sqrt{3}$x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②求出CP=2cm，分為兩種情況：第一種情況：當(dāng)N在線段BC上時(shí)，得出△PCN是等邊三角形，求出CN=CP=2cm，即可得到結(jié)論；第二種情況：當(dāng)N在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求出CN=PC=2cm，即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：①△AEP≌△PFC，
理由是：∵P為AC中點(diǎn)，
∴AP=PC，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°，
∴∠AEP=∠B=∠PFC=90°，
∴PF∥AB，PE∥BC，
∴∠APE=∠C=60°，
在△AEP和△PFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠C}\\{∠AEP=∠PFC}\\{AP=PC}\end{array}\right.$
∴△AEP≌△PFC（AAS）；

②△PFN∽△PEM，PN=$\sqrt{3}$PM，
理由是：∵在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠C=60°，
∴AB=$\sqrt{3}$BC，
∵PE∥BC，PF∥AB，P為AC中點(diǎn)，
∴E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
∴PE=$\frac{1}{2}$BC，PF=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°，
∴∠EPF=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF，
∵∠PEM=∠PFN=90°，
∴△PFN∽△PEM，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴PN=$\sqrt{3}$PM．
（2）①PM=2PN，如圖1，
證明：過P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠AEP=∠PFC=∠B=90°，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠C，
∴△AEP∽∠PFC，
∴$\frac{AP}{PC}=\frac{PE}{PF}=\frac{2PC}{PC}$=2，
設(shè)CF=x，則PE=2x，
在Rt△PFC中，∠C=60°，∠PFC=90°，
∴PF=$\sqrt{3}$x，
∵在四邊形BFPE中，∠BFP=∠B=∠BEP=90°，
∴∠EPF=90°，
即∠EPM+∠MPF=90°，
∵∠NPF+∠MPF=90°，
∴∠NPF=∠EPM，
∵∠MEP=∠PFN=90°，
∴△PEM∽△PFN，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴PM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$PN；

②解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，BC=3cm，
∴AC=2BC=6cm，
∵AP=2PC，
∴CP=2cm，
分為兩種情況：第一種情況：當(dāng)N在線段BC上時(shí)，如圖2，
∵△PCN是等腰三角形，∠C=60°，CP=2cm，
∴△PCN是等邊三角形，
∴CN=CP=2cm，
∴BN=BC-CN=3cm-2cm=1cm；
第二種情況：當(dāng)N在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，
∵∠PCN=180°-60°=120°，
∴要△PCN是等腰三角形，只能PC=CN，
即CN=PC=2cm，
∴BN=BC+CN=3cm+2cm=5cm，
即BN的長(zhǎng)是1cm或5cm，
故答案為：1cm或5cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)和判定，三角形中位線，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．用了分類討論思想．