【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AB,AD上的點(diǎn),且滿足∠BCE=∠DCF,連結(jié)EF.

(1)若AF=1,求EF的長(zhǎng);

(2)取CE的中點(diǎn)M,連結(jié)BM,F(xiàn)M,BF.求證:BM⊥FM.

【答案】(1)1;(2)證明見解析.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)已知和菱形的性質(zhì)證明△CBE≌△CDF,得到BE=DF,證明△AEF是等邊三角形,求出EF的長(zhǎng);

(2)延長(zhǎng)BM交DC于點(diǎn)N,連結(jié)FN,證明△CMN≌△EMB,得到NM=MB,證明△FDN≌△BEF,得到FN=FB,得到BM⊥MF.

試題解析:(1)∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB=AD=BC=DC,∠D=∠CBE,

又∵∠BCE=∠DCF,

在△CBE與△CDF中,

,

∴△CBE≌△CDF,

∴BE=DF.

又∵AB=AD,

∴AB-BE=AD-DF,即AE=AF,

又∵∠A=60°,

∴△AEF是等邊三角形,

∴EF=AF,

∵AF=1,

∴EF=1.

(2)如圖1,延長(zhǎng)BM交DC于點(diǎn)N,連結(jié)FN,

∵四邊形ABCD是菱形,

∴DC∥AB,

∴∠NCM=∠BEM,∠CNM=∠EBM

∵點(diǎn)M是CE的中點(diǎn),

∴CM=EM.

在△CMN與△EMB中,

,

∴△CMN≌△EMB,

∴NM=MB,CN=BE.

又∵AB=DC.

∴DC-CN=AB-BE,即DN=AE.

∵△AEF是等邊三角形,

∴∠AEF=60°,EF=AE.

∴∠BEF=120°,EF=DN.

∵DC∥AB,

∴∠A+∠D=180°,

又∵∠A=60°,

∴∠D=120°,

∴∠D=∠BEF.

在△FDN與△BEF中,

,

∴△FDN≌△BEF,

∴FN=FB,

又∵NM=MB,

∴BM⊥MF

練習(xí)冊(cè)系列答案
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