【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))與y軸交于點C(0,-3),對稱軸是直線x=1,直線BC與拋物線的對稱軸交于點D,點E為y軸上一動點,CE的垂直平分線交拋物線于P,Q兩點(點P在第三象限)
(1)求拋物線的函數(shù)表達式和直線BC的函數(shù)表達式;
(2)當(dāng)△CDE是直角三角形,且∠CDE=90° 時,求出點P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)△PBC的面積為時,求點E的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2-2x-3;直線BC的函數(shù)表達式為y=x-3;(2)P的坐標(biāo)為(1-,-2);(3)E的坐標(biāo)為(0,-).
【解析】
試題分析:(1)用對稱軸公式即可得出b的值,再利用拋物線與y軸交于點C(0,-3),求出拋物線解析式即可;由拋物線的解析式可求出B的坐標(biāo),進而可求出線BC的函數(shù)表達式;
(2)當(dāng)∠CDE=90°時,則CE為斜邊,則DG2=CGGE,即1=(OC-OG)(2-a),求出a的值,進而得出P點坐標(biāo);
(3)當(dāng)△PBC的面積為時,過P作PK∥x 軸,交直線BC于點K,設(shè)P(m,n),則n=m2-2m-3,由已知條件可得:S△PBC=S△PKC+S△PKB=,進而可求出P的坐標(biāo),又因為點P在CE垂直平分線上,所以E的坐標(biāo)可求出.
試題解析:(1)∵拋物線的對稱軸為直線x=1,
∴-=1,
∴b=-2
∵拋物線與y軸交于點C(0,-3),
∴c=-3,
∴拋物線的函數(shù)表達式為:y=x2-2x-3;
∵拋物線與x軸交于A、B兩點,
當(dāng)y=0時,x2-2x-3=0.
∴x1=-1,x2=3.
∵A點在B點左側(cè),
∴A(-1,0),B(3,0)
設(shè)過點B(3,0)、C(0,-3)的直線的函數(shù)表達式為y=kx+m,
則,
∴
∴直線BC的函數(shù)表達式為y=x-3;
(2)∵Rt△CDE中∠CDE=90°,直線BC的解析式為y=x-3,
∴∠OCB=45°,
∵點D在對稱軸x=1與直線y=x-3交點上,
∴D坐標(biāo)為(1,-2 )
Rt△CDE為等腰直角三角形易得E的坐標(biāo)(0,-1),
∵點P在CE垂直平分線上,
∴點P縱坐標(biāo)為-2,
∵點P在y=x2-2x-3上,
∴x2-2x-3=-2,
解得:x=1±,
∵P在第三象限,
∴P的坐標(biāo)為(1-,-2);
(3)過P作PK∥x軸,交直線BC于點K,設(shè)P(m,n),則n=m2-2m-3
∵直線BC的解析式為y=x-3,
∴K的坐標(biāo)為(n+3,n),
∴PK=n+3-m=m2-3m,
∵S△PBC=S△PKC+S△PKB=,
∴×3KP=
∴m2-3m=,
解得:m=-或,
∵P在第三象限,
∴P的坐標(biāo)為(-,-)
∵點P在CE垂直平分線上,
∴E的坐標(biāo)為(0,-)
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【題目】2013年1月1日新交通法規(guī)開始實施.為了解某社區(qū)居民遵守交通法規(guī)情況,小明隨機選取部分居民就“行人闖紅燈現(xiàn)象”進行問卷調(diào)查,調(diào)查分為“A:從不闖紅燈;B:偶爾闖紅燈;C:經(jīng)常闖紅燈;D:其他”四種情況,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出部分條形統(tǒng)計圖(如圖1)和部分扇形統(tǒng)計圖(如圖2).請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查共選取名居民;
(2)求出扇形統(tǒng)計圖中“C”所對扇形的圓心角的度數(shù),并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)如果該社區(qū)共有居民1600人,估計有多少人從不闖紅燈?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,點E,F(xiàn)分別是邊AB,AD上的點,且滿足∠BCE=∠DCF,連結(jié)EF.
(1)若AF=1,求EF的長;
(2)取CE的中點M,連結(jié)BM,F(xiàn)M,BF.求證:BM⊥FM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,點在直線上,點、的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,2),點的橫坐標(biāo)為2,過點作軸于,過點作軸于,直線與軸交于點.
(1)若, ,求(用, 表示);
(2)已知直線上的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是二元一次方程的解(同學(xué)們可以用點、的坐標(biāo)進行檢驗),直線上的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是二元一次方程的解,求點、的坐標(biāo);
(3)解方程組,比較該方程組的解與兩條直線的交點的坐標(biāo),你得出什么結(jié)論?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在北京的南水北調(diào)工程中,團城湖明渠工程全長885米,上接西四環(huán)暗涵出口閘,下接團城湖下游京密引水渠,為總干渠末端工程.渠道上建橋和倒虹吸各有1處,渠道末端設(shè)置出口閘1座,總投資3600000000元,設(shè)計施工工期8個月.其中,3600000000用科學(xué)記數(shù)法表示為( 。
A. 3.6×108 B. 0.36×1011 C. 3.6×109 D. 36×108
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