Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，點(diǎn)D是邊CA延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線交CA的平行線BF于點(diǎn)F，連結(jié)CE交AB于點(diǎn)G．
（1）當(dāng)點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)時(shí)，求tan∠AFB的值；
（2）CE•AF的值是否隨線段AD長(zhǎng)度的改變而變化？如果不變，求出CE•AF的值；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)△BGE和△BAF相似時(shí)，求線段AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H，如圖1，易證EH是△DBC的中位線及△AHE∽△EHD，設(shè)AH=x，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出x，就可求出tan∠AFB的值；
（2）取AB的中點(diǎn)O，連接OC、OE，如圖2，易證四點(diǎn)A、C、B、E共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠BCE=∠BAF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形內(nèi)角互補(bǔ)可得∠CBE+∠CAE=180°，由此可推出∠CBE=∠BFA，從而可得△BCE∽△FAB，即可得到CE•FA=BC•AB，只需求出AB就可解決問(wèn)題；
（3）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如圖3，易證四邊形EMCH是矩形，由△BCE∽△FAB，△BGE與△FAB相似可得△BGE與△BCE相似，即可得到∠EBG=∠ECB．由點(diǎn)A、C、B、E共圓可得∠ECA=∠EBG，即可得到∠ECB=∠ECA，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EM=EH，即可得到矩形EMCH是正方形，則有CM=CH，易證EB=EA，根據(jù)HL可得Rt△BME∽R(shí)t△AHE，則有BM=AH．設(shè)AH=x，根據(jù)CM=CH可求出x，由此可求出CE的長(zhǎng)，再利用（2）中的結(jié)果就可求出AF的值．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H，如圖1，

則有∠EHA=∠EHD=90°．
∵∠BCD=90°，BE=DE，
∴CE=DE．
∴CH=DH，
∴EH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{7}{2}$．
設(shè)AH=x，則DH=CH=x+1．
∵AE⊥BD，
∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90°．
∵∠AEH+∠EAH=90°，
∴∠EAH=∠DEH，
∴△AHE∽△EHD，
∴$\frac{AH}{EH}$=$\frac{EH}{DH}$，
∴EH²=AH•DH，
∴（$\frac{7}{2}$）²=x（x+1），
解得x=$\frac{5\sqrt{2}-1}{2}$（舍負(fù)），
∴tan∠EAH=$\frac{EH}{AH}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{5\sqrt{2}-1}{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}+1}{7}$．
∵BF∥CD，
∴∠AFB=∠EAH，
∴tan∠AFB=$\frac{5\sqrt{2}+1}{7}$；

（2）CE•AF的值不變．
取AB的中點(diǎn)O，連接OC、OE，如圖2，

∵∠BCA=∠BEA=90°，
∴OC=OA=OB=OE，
∴點(diǎn)A、C、B、E共圓，
∴∠BCE=∠BAF，∠CBE+∠CAE=180°．
∵BF∥CD，
∴∠BFA+∠CAE=180°，
∴∠CBE=∠BFA，
∴△BCE∽△FAB，
∴$\frac{BC}{FA}$=$\frac{CE}{AB}$，
∴CE•FA=BC•AB．
∵∠BCA=90°，BC=7，AC=1，
∴AB=5$\sqrt{2}$，
∴CE•FA=7×5$\sqrt{2}$=35$\sqrt{2}$；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如圖3，

∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90°，
∴四邊形EMCH是矩形．
∵△BCE∽△FAB，△BGE與△FAB相似，
∴△BGE與△BCE相似，
∴∠EBG=∠ECB．
∵點(diǎn)A、C、B、E共圓，
∴∠ECA=∠EBG，
∴∠ECB=∠ECA，
∴EM=EH，
∴矩形EMCH是正方形，
∴CM=CH．
∵∠ECB=∠ECA=$\frac{1}{2}$∠BCA=45°，
∴∠EBA=∠EAB=45°，
∴EB=EA，
∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），
∴BM=AH．
設(shè)AH=x，則BM=x，CM=7-x，CH=1+x，
∴7-x=1+x，
∴x=3，
∴CH=4．
在Rt△CHE中，
cos∠ECH=$\frac{CH}{CE}$=$\frac{4}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CE=4$\sqrt{2}$．
由（2）可得CE•FA=35$\sqrt{2}$，
∴AF=$\frac{35\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{35}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，證到△BCE∽△FAB是解決第（2）小題的關(guān)鍵，證出Rt△BME≌Rt△AHE是解決第（3）小題的關(guān)鍵．