Question

3．如圖，線段AB與⊙O相切于點C，連接OA、OB，OB交⊙O于點D，已知OA=OB=3cm，AB=3$\sqrt{3}$cm，則圖中陰影部分的面積為$\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}π$．

Answer 1

分析 由AB為圓的切線，得到OC⊥AB，再由OA=OB，利用三線合一得到C為AB中點，且OC為角平分線，在直角三角形AOC中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OC的長，利用勾股定理求出AC的長，進而確定出AB的長，求出∠AOB度數(shù)，陰影部分面積=三角形AOB面積-扇形AOB面積，求出即可．

解答 解：連接OC，
∵AB與圓O相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠AOC=$\frac{AC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，
∴S_陰影=S_△AOB-S_扇形=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$-$\frac{120π×（\frac{3}{2}）^{2}}{360}$，
故圖中陰影部分的面積為$\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}π$，
故答案為：$\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}π$．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及扇形面積計算，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．