Question

已知：如圖，E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分別是F、G．求證：AE=FG．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意我們不難得出四邊形GEFC是個(gè)矩形，因此它的對(duì)角線相等．如果連接EC，那么EC=FG，要證明AE=FG，只要證明EC=AE即可．證明AE=EC就要通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)．三角形ABE和BEC中，有∠ABD=∠CBD，有AB=BC，有一組公共邊BE，因此構(gòu)成了全等三角形判定中的SAS，因此兩三角形全等，得AE=EC，即AE=GF．
解答：證明：連接EC．
∵四邊形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠GCF=∠CFE=∠CGE=90°，
∴四邊形EFCG為矩形．
∴FG=CE．
又BD為正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠ABE=∠CBE．
又BE=BE，AB=CB，
∴△ABE≌△CBE．
∴AE=EC．
∴AE=FG．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，正方形和矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)證明簡(jiǎn)單的線段相等是解此類題的常用方法．