精英家教網(wǎng)已知:如圖,在△ABC中,D是AB邊上一點(diǎn),圓O過(guò)D、B、C三點(diǎn),∠DOC=2∠ACD=90°.
(1)求證:直線AC是圓O的切線;
(2)如果∠ACB=75°,圓O的半徑為2,求BD的長(zhǎng).
分析:(1)證明OC⊥AC即可.根據(jù)∠DOC是等腰直角三角形可得∠DCO=45°.又∠ACD=45°,所以∠ACO=90°,得證;
(2)如果∠ACB=75°,則∠BCD=30°;又∠B=
1
2
∠O=45°,解斜三角形BCD求解.所以作DE⊥BC,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到解直角三角形求解.先求CD,再求DE,最后求BD得解.
解答:(1)證明:∵OD=OC,∠DOC=90°,
∴∠ODC=∠OCD=45°.
∵∠DOC=2∠ACD=90°,
∴∠ACD=45°.
∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°.
∵點(diǎn)C在圓O上,
∴直線AC是圓O的切線.

(2)解:方法1:∵OD=OC=2,∠DOC=90°,精英家教網(wǎng)
∴CD=2
2

∵∠ACB=75°,∠ACD=45°,
∴∠BCD=30°,
作DE⊥BC于點(diǎn)E,則∠DEC=90°,
∴DE=DCsin30°=
2

∵∠B=45°,精英家教網(wǎng)
∴DB=2.
方法2:連接BO
∵∠ACB=75°,∠ACD=45°,
∴∠BCD=30°,∴∠BOD=60°
∵OD=OB=2
∴△BOD是等邊三角形
∴BD=OD=2.
點(diǎn)評(píng):此題考查了切線的判定方法和解直角三角形,內(nèi)容單一,難度不大.注意:解斜三角形通常通過(guò)作垂線把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形求解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2013•啟東市一模)已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分線AD交BC邊于D.
(1)以AB邊上一點(diǎn)O為圓心,過(guò)A,D兩點(diǎn)作⊙O(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡),再判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若(1)中的⊙O與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E,半徑為2,AB=6,求線段AD、AE與劣弧DE所圍成的圖形面積.(結(jié)果保留根號(hào)和π)《根據(jù)2011江蘇揚(yáng)州市中考試題改編》

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:如圖,在△ABC中,∠C=120°,邊AC的垂直平分線DE與AC、AB分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知:如圖,在AB、AC上各取一點(diǎn)E、D,使AE=AD,連接BD,CE,BD與CE交于O,連接AO,∠1=∠2,
求證:∠B=∠C.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:專(zhuān)項(xiàng)題 題型:證明題

已知:如圖,在AB、AC上各取一點(diǎn),E、D,使AE=AD,連結(jié)BD,CE,BD與CE交于O,連結(jié)AO,
           ∠1=∠2;
求證:∠B=∠C

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