Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）經(jīng)過點A、B．

（1）求a、b滿足的關(guān)系式及c的值．

（2）當(dāng)x＜0時，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函數(shù)值隨x的增大而增大，求a的取值范圍．

（3）如圖，當(dāng)a＝﹣1時，在拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積為1？若存在，請求出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b＝2a+1，c＝2；（2）≤a＜0；（3）存在，點P（﹣1，2）或（﹣1+，1）或（﹣1﹣，﹣），理由見解析

【解析】

（1）求出點A、B的坐標，將其代入y＝ax2+bx+c即可求解；

（2）當(dāng)時，若y＝ax2+bx+c（）的函數(shù)值隨x的增大而增大，則函數(shù)對稱軸x，而，即可求解；

（3）過點P作直線l∥AB，作PQ∥y軸交BA于點Q，作PH⊥AB于點H，S△PAB＝×AB×PH＝×2×PQ×＝1，則|yP﹣yQ|＝1，即可求解．

（1）y＝x+2，令x＝0，則y＝2，令y＝0，則x＝﹣2，

故點A、B的坐標分別為（﹣2，0）、（0，2），則c＝2，

則函數(shù)表達式為：y＝ax2+bx+2，

將點A坐標代入上式并整理得：b＝2a+1；

（2）當(dāng)x＜0時，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函數(shù)值隨x的增大而增大，

則函數(shù)對稱軸x＝≥0，而b＝2a+1，

即：≥0，解得：，

故a的取值范圍為：≤a＜0；

（3）當(dāng)a＝﹣1時，二次函數(shù)表達式為：y＝﹣x2﹣x+2，

過點P作直線l∥AB，作PQ∥y軸交BA于點Q，作PH⊥AB于點H，

∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，

S△PAB＝×AB×PH＝×2×PQ×＝1，

則yP﹣yQ＝1，

在直線AB下方作直線m，使直線m和l與直線AB等距離，

則直線m與拋物線兩個交點坐標，分別與點AB組成的三角形的面積也為1，

故：|yP﹣yQ|＝1，

設(shè)點P（x，﹣x2﹣x+2），則點Q（x，x+2），

即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，

解得：x＝﹣1或，

故點P（﹣1，2）或（﹣1+，1）或（﹣1﹣，﹣）．