Question

（2012•渝北區(qū)一模）如圖1，在平面直角坐標系中有一個Rt△OAC，點A（3，4），點C（3，0）將其沿直線AC翻折，翻折后圖形為△BAC．動點P從點O出發(fā)，沿折線0?A?B的方向以每秒2個單位的速度向B運動，同時動點Q從點B出發(fā)，在線段BO上以每秒1個單位的速度向點O運動，當其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設(shè)運動的時間為t（秒）．
（1）設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）如圖2，固定△OAC，將△ACB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后得到的三角形為△A′CB′設(shè)A′B′與AC交于點D當∠BCB′=∠CAB時，求線段CD的長；
（3）如圖3，在△ACB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，若設(shè)A′C所在直線與OA所在直線的交點為E，是否存在點E使△ACE為等腰三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)勾股定理和折疊的性質(zhì)易求得OA=AB=5，OB=6，可用t表示出OP、OQ的長，分兩種情況討論：
①點P在線段OA上運動，即0≤t≤2.5，以O(shè)Q為底，OP•sin∠AOC為高，即可得S、t的函數(shù)關(guān)系式；
②點P在線段AB上運動，即2.5＜t≤5，以O(shè)Q為底，BP•sin∠ABC為高，即可得S、t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若∠BCB′=∠CAB，那么∠DCB′、∠ABC為等角的余角，而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠ABC=∠B′，通過等量代換后可發(fā)現(xiàn)此時D點是斜邊A′B′的中點，即CD=A′B′，由此得解．
（3）首先根據(jù)A點坐標，求出直線OP的解析式，然后設(shè)出點E的坐標；再根據(jù)A、C的坐標，分別表示出AE²、CE²的長，然后分三種情況討論：①AE=CE，②AE=AC，③CE=AC；
根據(jù)上述三種情況所得不同等量關(guān)系，即可求得符合條件的E點坐標．
解答：解：（1）由題意知：OA=AB=5，OC=BC=3，OB=6；
P從O→A→B，所用的總時間為：（5+5）÷2=5s；Q從B→O所用的總時間為：6÷1=6；
因此t的取值范圍為：0≤t≤5；
①當0≤t≤2.5時，點P在線段OA上；
OP=2t，OQ=OB-BQ=6-t；
∴S=×2t××（6-t）=-t²+t；
②當2.5≤t≤5時，點P在線段AB上；
OP=2t，BP=10-2t，OQ=6-t；
∴S=×（10-2t）××（6-t）=t²-t+24；
綜上可知：S=．

（2）∵∠BCB′=∠CAB，
∴∠DCB′=∠ABC=90°-∠CAB=90°-∠BCB′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠ABC=∠B′，即∠DCB′=∠B′；
∴∠A′=∠A′CD=90°-∠DCB′=90°-∠B′，
∴A′D=DB′=CD，即CD=A′B′=AB=2.5．

（3）由A（3，4），可得直線OA：y=x；
設(shè)點E（x，x），已知A（3，4），C（3，0）；
∴AE²=（x-3）²+（x-4）²，CE²=（x-3）²+（x）²，AC=4；
①當AE=CE時，AE²=CE²，則有：
（x-3）²+（x-4）²=（x-3）²+（x）²，解得x=，
∴E₁（，2）；
②當AE=AC時，AE²=AC²=16，則有：
（x-3）²+（x-4）²=16，整理得：25x²-150x+81=0，
解得：x=，x=；
∴E₂（，），E₃（，）；
③當CE=AC時，CE²=AC²=16，則有：
（x-3）²+（x）²=16，整理得：25x²-54x-63=0，
解得：x=-，x=3（舍去）；
∴E₄（-，-）；
綜上可知：存在符合條件的E點：E₁（，2），E₂（，），E₃（，），E₄（-，-）．
點評：此題是一次函數(shù)的綜合題，涉及到圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形面積的求法、等腰三角形的構(gòu)成情況等知識，難度較大．