Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的直角邊OB在x軸上，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過斜邊OA的中點(diǎn)C，交另一直角邊于點(diǎn)D，連接CD，OCD的面積是3．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）若OC=2$\sqrt{2}$，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，即S=$\frac{1}{2}$|k|；
（2）由CE•OE=4，得到OE=$\frac{4}{CE}$，根據(jù)勾股定理列方程得到CE=2，得到OE=2，根據(jù)三角形的中位線即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，過C點(diǎn)作CE⊥x軸，垂足為E．
∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，
∴CE∥AB，
∵C為Rt△OAB斜邊OA的中點(diǎn)C，
∴CE為Rt△OAB的中位線，
∵△OEC∽△OBA，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$．
∵雙曲線的解析式是y=$\frac{k}{x}$，即xy=k
∴S_△BOD=S_△COE=$\frac{1}{2}$|k|，
∴S_△AOB=4S_△COE=2|k|，
由S_△AOB-S_△BOD=S_△AOD=2S_△DOC=6，得2k-$\frac{1}{2}$k=6，
∴k=4．
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{4}{x}$；

（2）∵CE•OE=4，
∴OE=$\frac{4}{CE}$，
∵CE²+OE²=OC²，
即CE²+（$\frac{4}{CE}$）²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴CE=2，
∴OE=2，
∵CE為Rt△OAB的中位線，
∴AB=2CE=4，OB=2OE=4，
∴A（4，4）．

點(diǎn)評 本題考查了反比函數(shù)k的幾何意義，過圖象上的任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得三角形的面積是$\frac{1}{2}$|k|，是經(jīng)常考查的知識(shí)點(diǎn)，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．