Question

6．已知拋物線y=x²+（2m+1）x+m（m-3）（m為常數(shù)，-1≤m≤4）．A（-m-1，y₁），B（$\frac{m}{2}$，y₂），C（-m，y₃）是該拋物線上不同的三點(diǎn)，現(xiàn)將拋物線的對(duì)稱軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線a，過拋物線頂點(diǎn)P作PH⊥a于H．
（1）用含m的代數(shù)式表示拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若無(wú)論m取何值，拋物線與直線y=x-km（k為常數(shù)）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值；
（3）當(dāng)1＜PH≤6時(shí)，試比較y₁，y₂，y₃之間的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決問題．
（2）列方程組根據(jù)△=0解決問題．
（3）首先證明y₁=y₃，再根據(jù)點(diǎn)B的位置，分類討論，①令$\frac{m}{2}$＜-m-1，求出m的范圍即可判斷，②令$\frac{m}{2}$=-m-1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．
③令$\frac{m}{2}$＞-m-1，求出m的范圍即可判斷，④令-$\frac{2m+1}{2}$≤$\frac{m}{2}$＜-m，求出m的范圍即可判斷，⑤令$\frac{m}{2}$=-m，B，C重合，不合題意舍棄．⑥令$\frac{m}{2}$＞-m，求出m的范圍即可判斷．

解答 解：（1）∵-$\frac{2a}$=-$\frac{2m+1}{2}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{4m（m-3）-（2m+1）^{2}}{4}$=-$\frac{16m+1}{4}$，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（-$\frac{2m+1}{2}$，-$\frac{16m+1}{4}$）．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+（2m+1）x+m（m-3）}\\{y=x-km}\end{array}\right.$消去y得x²+2mx+（m²+km-3m）=0，
∵拋物線與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=0，即（k-3）m=0，
∵無(wú)論m取何值，方程總是成立，
∴k-3=0，
∴k=3．
（3）PH=|-$\frac{2m+1}{2}$-（-$\frac{16m+1}{4}$）|=|$\frac{12m-1}{4}$|，
∵1＜PH≤6，
∴當(dāng)$\frac{12m-1}{4}$＞0時(shí)，有1＜$\frac{12m-1}{4}$≤6，又-1≤m≤4，
∴$\frac{5}{12}$＜m$≤\frac{25}{12}$，
當(dāng)$\frac{12m-1}{4}$＜0時(shí)，1＜-$\frac{12m-1}{4}$≤6，又∵-1≤m≤4，
∴-1$≤m＜-\frac{1}{4}$，
∴-1≤m＜-$\frac{1}{4}$或$\frac{5}{12}$＜m≤$\frac{25}{12}$，
∵A（-m-1，y₁）在拋物線上，
∴y₁=（-m-1）²+（2m+1）（-m-1）+m（m+3）=-4m，
∵C（-m，y₃）在拋物線上，
∴y₃=（-m）²+（2m+1）（-m）+m（m-3）=-4m，
∴y₁=y₃，
①令$\frac{m}{2}$＜-m-1，則有m＜-$\frac{2}{3}$，結(jié)合-1≤m＜-$\frac{1}{4}$，
∴-1≤m＜-$\frac{2}{3}$，
此時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，如圖1，
∴y₂＞y₁=y₃，
即當(dāng)-1≤m＜-$\frac{2}{3}$時(shí)，有y₂＞y₁=y₃．
②令$\frac{m}{2}$=-m-1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．
③令$\frac{m}{2}$＞-m-1，且$\frac{m}{2}$≤-$\frac{2m+1}{2}$時(shí)，有-$\frac{2}{3}$＜m≤-$\frac{1}{3}$，結(jié)合-1≤m＜-$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{2}{3}$＜m≤-$\frac{1}{3}$，
此時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，如圖2，
∴y₁=y₃＞y₂，
即當(dāng)-$\frac{2}{3}$＜m≤-$\frac{1}{3}$時(shí)，有y₁=y₃＞y₂，
④令-$\frac{2m+1}{2}$≤$\frac{m}{2}$＜-m，有-$\frac{1}{3}$≤m＜0，結(jié)合-1≤m＜-$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{1}{3}$≤m＜-$\frac{1}{4}$，
此時(shí)，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，如圖3，
∴y₂＜y₃=y₁．
⑤令$\frac{m}{2}$=-m，B，C重合，不合題意舍棄．
⑥令$\frac{m}{2}$＞-m，有m＞0，結(jié)合$\frac{5}{12}$＜m≤$\frac{25}{12}$，
∴$\frac{5}{12}$＜m≤$\frac{25}{12}$，
此時(shí)，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，如圖4，
∴y₂＞y₃=y₁，
即當(dāng)$\frac{5}{12}$＜m≤$\frac{25}{12}$時(shí)，有y₂＞y₃=y₁，
綜上所述，-1≤m＜-$\frac{2}{3}$或$\frac{5}{12}$＜m≤$\frac{25}{12}$時(shí)，有y₂＞y₁=y₃，
-$\frac{2}{3}$＜m＜-$\frac{1}{4}$時(shí)，有y₂＜y₁=y₃．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用根的判別式解決拋物線與直線的交點(diǎn)問題，學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)利用函數(shù)圖象判斷函數(shù)值的大小，屬于中考?jí)狠S題．