Question

【題目】已知邊長(zhǎng)為2a的正方形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)Q，對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)P與正方形ABCD，給出如下定義：如果，則稱點(diǎn)P為正方形ABCD的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）.

（1）在，，中，正方形ABCD的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”有_____；

（2）已知點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是m，若點(diǎn)E在直線上，并且E是正方形ABCD的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求m的取值范圍；

（3）若將正方形ABCD沿x軸平移，設(shè)該正方形對(duì)角線交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是n，直線與x軸、y軸分別相交于M、N兩點(diǎn).如果線段MN上的每一個(gè)點(diǎn)都是正方形ABCD的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求n的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）正方形ABCD的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為P2，P3；（2）或；（3）.

【解析】

（1）正方形ABCD的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”中正方形的內(nèi)切圓和外切圓之間（包括兩個(gè)圓上的點(diǎn)），由此畫(huà)出圖形即可判斷；

（2）因?yàn)?/span>E是正方形ABCD的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，所以E在正方形ABCD的內(nèi)切圓和外接圓之間（包括兩個(gè)圓上的點(diǎn)），因?yàn)?/span>E在直線上，推出點(diǎn)E在線段FG上，求出點(diǎn)F、G的橫坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性即可解決問(wèn)題；

（3）因?yàn)榫�段MN上的每一個(gè)點(diǎn)都是正方形ABCD的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，分兩種情形：①如圖3中，MN與小⊙Q相切于點(diǎn)F，求出此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；②M如圖4中，落在大⊙Q上，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)即可解決問(wèn)題；

（1）由題意正方形ABCD的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”中正方形的內(nèi)切圓和外切圓之間（包括兩個(gè)圓上的點(diǎn)），

觀察圖象可知：正方形ABCD的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為P2，P3；

（2）作正方形ABCD的內(nèi)切圓和外接圓，

∴OF＝1，，.

∵E是正方形ABCD的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，

∴E在正方形ABCD的內(nèi)切圓和外接圓之間（包括兩個(gè)圓上的點(diǎn)），

∵點(diǎn)E在直線上，

∴點(diǎn)E在線段FG上.

分別作FF’⊥x軸，GG’⊥x軸，

∵OF＝1，，

∴，.

∴.

根據(jù)對(duì)稱性，可以得出.

∴或.

（3）∵、N（0，1），

∴，ON＝1.

∴∠OMN＝60°.

∵線段MN上的每一個(gè)點(diǎn)都是正方形ABCD

的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，

①MN與小⊙Q相切于點(diǎn)F，如圖3中，

∵QF＝1，∠OMN＝60°，

∴.

∵，

∴.

∴.

②M落在大⊙Q上，如圖4中，

∵，，

∴.

∴.

綜上：.