【題目】已知正方形ABCD,E為平面內(nèi)任意一點(diǎn),連結(jié)DE,將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DG,連結(jié)EC,AG.
(1)當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)部時(shí),
①依題意補(bǔ)全圖形;
②判斷AG與CE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并寫出證明思路.
(2)當(dāng)點(diǎn)B,D,G在一條直線時(shí),若AD=4,DG= ,求CE的長.
【答案】
(1)
證明:①依題意補(bǔ)全圖形,如圖1所示,
②AG=CE,AG⊥CE.
證明思路如下:
由正方形ABCD,可得AD=CD,∠ADC=90°,
由DE繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DG,
∴∠GDE=∠ADC=90°,GD=DE
∴∠GDA=∠EDC.
∵DG=DE,AD=CD,
∴△AGD≌△CED,
∴AG=CE.
延長CE分別交AG、AD于點(diǎn)F、H,
∵△AGD≌△CED,
∴∠GAD=∠ECD,
∵∠AHF=∠CHD,
∴∠AFH=∠HDC=90°
∴AG⊥CH
(2)
證明:當(dāng)點(diǎn)G在線段BD的延長線上時(shí),如圖3所示.
過G作GM⊥AD于M.
∵BD是正方形ABCD的對角線,
∴∠ADB=∠GDM=45°.
∵GM⊥AD,DG= ,
∴MD=MG=1
在Rt△AMG中,由勾股定理,得AG= =
∴CE=AG=
當(dāng)點(diǎn)G在線段BD上時(shí),如圖4所示.
過G作GM⊥AD于M.
∵BD是正方形ABCD的對角線,
∴∠ADG=45°
∵GM⊥AD,DG= ,
∴MD=MG=1
在Rt△AMG中,由勾股定理,得AG= = ,
∴CE=AG=
故CE的長為 或
【解析】(1)依題意補(bǔ)全圖形,如圖1所示,(2)由旋轉(zhuǎn)得到∠GDA=∠EDC,判斷出△AGD≌△CED,得出∠AFH=∠HDC=90°即可;(3)由正方形的線段得到MD=MG=1,再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度,任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.旋轉(zhuǎn)的方向、角度、旋轉(zhuǎn)中心是它的三要素才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正△ABC中,D、E分別在AC、AB上,且 = , AE=BE , 則有( )
A.△AED∽△ABC
B.△ADB∽△BED
C.△BCD∽△ABC
D.△AED∽△CBD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
根據(jù)聯(lián)合國《人口老齡化及其社會經(jīng)濟(jì)后果》中提到的標(biāo)準(zhǔn),當(dāng)一個(gè)國家或地區(qū)65 歲及以上老年人口數(shù)量占總?cè)丝诒壤^7%時(shí),意味著這個(gè)國家或地區(qū)進(jìn)入老齡化.從經(jīng)濟(jì)角度,一般可用“老年人口撫養(yǎng)比”來反映人口老齡化社會的后果.所謂“老年人口撫養(yǎng)比”是指某范圍人口中,老年人口數(shù)(65 歲及以上人口數(shù))與勞動年齡人口數(shù)(15﹣64 歲人口數(shù))之比,通常用百分比表示,用以表明每100 名勞動年齡人口要負(fù)擔(dān)多少名老年人.
以下是根據(jù)我國近幾年的人口相關(guān)數(shù)據(jù)制作的統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表.
2011﹣2014 年全國人口年齡分布圖
2011﹣2014 年全國人口年齡分布表
2011年 | 2012年 | 2013年 | 2014年 | |
0﹣14歲人口占總?cè)丝诘陌俜直?/span> | 16.4% | 16.5% | 16.4% | 16.5% |
15﹣64歲人口占總?cè)丝诘陌俜直?/span> | 74.5% | 74.1% | 73.9% | 73.5% |
65歲及以上人口占總?cè)丝诘陌俜直?/span> | m | 9.4% | 9.7% | 10.0% |
根據(jù)以上材料解答下列問題:
(1)2011 年末,我國總?cè)丝诩s為億,全國人口年齡分布表中m的值為;
(2)若按目前我國的人口自然增長率推測,到2027 年末我國約有14.60 億人.假設(shè)0﹣14歲人口占總?cè)丝诘陌俜直纫恢狈(wěn)定在16.5%,15﹣64歲人口一直穩(wěn)定在10 億,那么2027 年末我國0﹣14歲人口約為億,“老年人口撫養(yǎng)比”約為;(精確到1%)
(3)2016 年1 月1 日起我國開始實(shí)施“全面二胎”政策,一對夫妻可生育兩個(gè)孩子,在未來10年內(nèi),假設(shè)出生率顯著提高,這(填“會”或“不會”)對我國的“老年人口撫養(yǎng)比”產(chǎn)生影響.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠ABC=120°,BD平分∠ABC,∠DAC=60°,若AB=2,BC=3,則BD的長是( 。
A. 5 B. 7 C. 8 D. 9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,一次函數(shù) 與反比例函數(shù) 的圖象在第一象限的交點(diǎn)為A(1,n).
(1)求m與n的值;
(2)設(shè)一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B,連結(jié)OA,求∠BAO的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在ABCD中,過點(diǎn)D作對DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上,CF=AE,連結(jié)AF,BF.
(1)求證:四邊形BFDE是矩形.
(2)若CF=6,BF=8,DF=10,求證:AF是∠DAB的角平分線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y,如果對于x的每一個(gè)值,y都有唯一確定的值和它對應(yīng),那么就說y是x的函數(shù),記作y=f(x).在函數(shù)y=f(x)中,當(dāng)自變量x=a時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值y可以表示為f(a).
例如:函數(shù)f(x)=x2﹣2x﹣3,當(dāng)x=4時(shí),f(4)=42﹣2×4﹣3=5在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對于函數(shù)的零點(diǎn)給出如下定義:
如果函數(shù)y=f(x)在a≤x≤b的范圍內(nèi)對應(yīng)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,并且f(a).f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在a≤x≤b的范圍內(nèi)有零點(diǎn),即存在c(a≤c≤b),使f(c)=0,則c叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn),c也是方程f(x)=0在a≤x≤b范圍內(nèi)的根.
例如:二次函數(shù)f(x)=x2﹣2x﹣3的圖象如圖1所示.
觀察可知:f(﹣2)>0,f(1)<0,則f(﹣2).f(1)<0.所以函數(shù)f(x)=x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤1范圍內(nèi)有零點(diǎn).由于f(﹣1)=0,所以,﹣1是f(x)=x2﹣2x﹣3的零點(diǎn),﹣1也是方程x2﹣2x﹣3=0的根.
(1)觀察函數(shù)y1=f(x)的圖象2,回答下列問題:
①f(a)f(b) 0(“<”“>”或“=”)
②在a≤x≤b范圍內(nèi)y1=f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 .
(2)已知函數(shù)y2=f(x)=﹣ 的零點(diǎn)為x1 , x2 , 且x1<1<x2 .
①求零點(diǎn)為x1 , x2(用a表示);
②在平面直角坐標(biāo)xOy中,在x軸上A,B兩點(diǎn)表示的數(shù)是零點(diǎn)x1 , x2 , 點(diǎn) P為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)(P點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)不重合),在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN,記線段MN的中點(diǎn)為Q,若a是整數(shù),求拋物線y2的表達(dá)式并直接寫出線段PQ長的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】表是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分x,y的對應(yīng)值:
x | … | ﹣1 | ﹣ | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |||
y | … | m | ﹣1 | ﹣2 | ﹣1 | 2 | … |
(1)二次函數(shù)圖象的開口向 , 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 , m的值為;
(2)當(dāng)x>0時(shí),y的取值范圍是;
(3)當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在直線y=x+n的下方時(shí),n的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),B(4,1),且與y軸交于點(diǎn)C,連接AB、AC、BC.
(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)判斷△ABC的形狀;若△ABC的外接圓記為⊙M,請直接寫出圓心M的坐標(biāo);
(3)若將拋物線沿射線BA方向平移,平移后點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)A1、B1、C1 , △A1B1C1的外接圓記為⊙M1 , 是否存在某個(gè)位置,使⊙M1經(jīng)過原點(diǎn)?若存在,求出此時(shí)拋物線的關(guān)系式;若不存在,請說明理由.
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