Question

已知拋物線y=x²+（2m+1）x+m²+1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（x₁，0）、B（x₂，0），點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為C．
（1）用含m的代數(shù)式表示OA+OB-OC的值；
（2）若OC=OA=2OB，求出此時(shí)拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）首先得出△=4m-3＞0，即可得出m的取值范圍，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系用含m的代數(shù)式表示OA+OB-OC的值；
（2）利用OA=2OB，則x₁=2x₂，進(jìn)而得出關(guān)于m的方程求出m的值，進(jìn)而分類討論得出答案．

解答：解：（1）△=4m-3＞0，
解得：m＞

3

4

，
x₁+x₂=-2（2m+1）①，
x₁x₂=m²+1＞0②，
而當(dāng)m＞

3

4

時(shí)，x₁+x₂＜0，
∴x₁、x₂均為負(fù)數(shù)，點(diǎn)A與B在x軸負(fù)半軸上，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m²+1），m²+1＞0，
∴點(diǎn)C在y軸正半軸上．
∴OA=-x₁，OB=-x₂，OC=m²+1，
∴OA+OB-OC=-x₁-x₂-（m²+1）=2m+1-（m²+1）=-m²+2m，

（2）∵OA=2OB，
∴x₁=2x₂③
把③代入①，得x₁=-

2(2m+1)

3

，x₂=-

2m+1

3

，
把以上兩式代入②，整理，
得m²-8m+7=0，
解得：m₁=1，m₂=7，
當(dāng)m=1時(shí)，y=x²+3x+2，
A（-2，0），B（-1，0），C（0，2），
∴OA=2，OC=2，OC=OA成立，
當(dāng)m=7時(shí)，y=x²+15x+50，
A（-10，0），B（-5，0），C（0，50），
∴OA=10，OC=50，OC≠OA，
∴當(dāng)OC=OA=2OB時(shí)，y=x²+3x+2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)問題以及根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．