Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形中心在原點(diǎn)，且頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，繞著正方形的邊按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)回到點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．連接，線段、與正方形的邊圍成的面積較小部分的圖形記為．

（1）請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）若的速度均為1個(gè)單位長(zhǎng)度秒，試判斷在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的面積是否發(fā)生變化，如果不變求出該值，如果變化說(shuō)明理由．

（3）若點(diǎn)速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度秒，點(diǎn)為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，當(dāng)的面積為時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）不變，理由詳見(jiàn)解析；（3）或

【解析】

(1)利用正方形的性質(zhì)，結(jié)合B、C、D的位置寫(xiě)出坐標(biāo)即可；
(2)只要證明△OAP≌△OBQ，可得S△OAP=S△OBQ，推出SM=S△OAB= S正方形ABCD=1；
(3)分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P、Q在CD上時(shí)，分別構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

解：(1)由題意B(1,1)，C(1,1)，D(1,1)；
(2)M的面積不發(fā)生變化．
理由：如圖，連接OA、OB．

∵四邊形ABCD是正方形，O是正方形的中心，
∴OA=OB，∠OAP=∠OBQ=45°，
∵AP=BQ，
∴△OAP≌△OBQ，
∴S△OAP=S△OBQ，
∴SM=S△OAB= S正方形ABCD=1，
∴M的面積S是定值，定值為1．
(3)①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，連接OB，

由題意得：SM=S△OBP+ S△OBQ=，即(22t)1+t1=，
解得t=；
②當(dāng)點(diǎn)P、Q在CD上時(shí)，

由題意得：SM=S△OPQ=，即(2tt1)·1=，
解得t=，
綜上所述，t=或時(shí)，M的面積為．