【題目】已知圓O的半徑長為2,點(diǎn)A、B、C為圓O上三點(diǎn),弦BC=AO,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),
(1)如圖,連接AC、OD,設(shè)∠OAC=α,請(qǐng)用α表示∠AOD;
(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)B為的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)A、D之間的距離:
(3)如果AD的延長線與圓O交于點(diǎn)E,以O為圓心,AD為半徑的圓與以BC為直徑的圓相切,求弦AE的長.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)連接OB、OC,可證△OBC是等邊三角形,根據(jù)垂徑定理可得∠DOC等于30°,OA=OC可得∠ACO=∠CAO=α,利用三角形的內(nèi)角和定理即可表示出∠AOD的值.
(2)連接OB、OC,可證△OBC是等邊三角形,根據(jù)垂徑定理可得∠DOB等于30°,因?yàn)辄c(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則∠AOB=∠BOC=60°,所以∠AOD等于90°,根據(jù)OA=OB=2,在直角三角形中用三角函數(shù)及勾股定理即可求得OD、AD的長.
(3)分兩種情況討論:兩圓外切,兩圓內(nèi)切.先根據(jù)兩圓相切時(shí)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系,求出AD的長,再過O點(diǎn)作AE的垂線,利用勾股定理列出方程即可求解.
(1)如圖1:連接OB、OC.
∵BC=AO
∴OB=OC=BC
∴△OBC是等邊三角形
∴∠BOC=60°
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)
∴∠BOD=
∵OA=OC
∴=α
∴∠AOD=180°-α-α-=150°-2α
(2)如圖2:連接OB、OC、OD.
由(1)可得:△OBC是等邊三角形,∠BOD=
∵OB=2,
∴OD=OBcos=
∵B為的中點(diǎn),
∴∠AOB=∠BOC=60°
∴∠AOD=90°
根據(jù)勾股定理得:AD=
(3)①如圖3.圓O與圓D相內(nèi)切時(shí):
連接OB、OC,過O點(diǎn)作OF⊥AE
∵BC是直徑,D是BC的中點(diǎn)
∴以BC為直徑的圓的圓心為D點(diǎn)
由(2)可得:OD=,圓D的半徑為1
∴AD=
設(shè)AF=x
在Rt△AFO和Rt△DOF中,
即
解得:
∴AE=
②如圖4.圓O與圓D相外切時(shí):
連接OB、OC,過O點(diǎn)作OF⊥AE
∵BC是直徑,D是BC的中點(diǎn)
∴以BC為直徑的圓的圓心為D點(diǎn)
由(2)可得:OD=,圓D的半徑為1
∴AD=
在Rt△AFO和Rt△DOF中,
即
解得:
∴AE=
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【題目】如圖,△ADE繞正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△ABF,連接EF交AB于H,則下列結(jié)論: ①AE⊥AF;②EF:AF=:1;③AF2=FHFE;④FB:FC=HB:EC.正確的是___.
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【題目】如圖,已知正方形OEFG的頂點(diǎn)O與正方形ABCD的中心O重合,若正方形OEFG繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn).
(1)探究:在旋轉(zhuǎn)的過程中線段BE與線段CG有什么數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系?證明你的結(jié)論;
(2)若正方形ABCD的邊長為a,探究:在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形OMCN的面積是否發(fā)生變化?若不變化求其面積,若變化指出變化過程.
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【題目】在奉賢創(chuàng)建文明城區(qū)的活動(dòng)中,有兩段長度相等的彩色道磚鋪設(shè)任務(wù),分別交給甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)行施工.如圖是反映所鋪設(shè)彩色道磚的長度y(米)與施工時(shí)間x(時(shí))之間關(guān)系的部分圖象.請(qǐng)解答下列問題:
(1)求乙隊(duì)在2≤x≤6的時(shí)段內(nèi),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果甲隊(duì)施工速度不變,乙隊(duì)在開挖6小時(shí)后,施工速度增加到12米/時(shí),結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成了任務(wù).求甲隊(duì)從開始施工到完工所鋪設(shè)的彩色道磚的長度為多少米?
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,過點(diǎn)A的圓O交邊AB于點(diǎn)E,交邊AD于點(diǎn)F,已知AD=5,AE=2,AF=4.如果以點(diǎn)D為圓心,r為半徑的圓D與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn),那么r的取值范圍是______.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,0),C(4,4).
(1)按下列要求作圖:
①將△ABC向左平移4個(gè)單位,得到△A1B1C1;
②將△A1B1C1繞點(diǎn)B1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A2B2C2.
(2)求點(diǎn)C1在旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑長.
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【題目】已知點(diǎn)A(﹣3,y1),B(2,y2)均在拋物線y=ax2+bx+c上,點(diǎn)P(m,n)是該拋物線的頂點(diǎn),若y1>y2≥n,則m的取值范圍是( )
A.﹣3<m<2B.﹣<m<-C.m>﹣D.m>2
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【題目】如圖,從一架水平飛行的無人機(jī)的尾端點(diǎn)測得正前方的橋的左端點(diǎn)俯角為,且,無人機(jī)的飛行高度米,橋的長度為1255米.
(1)求點(diǎn)到橋左端點(diǎn)的距離;
(2)若從無人機(jī)前端點(diǎn)測得正前方的橋的右端點(diǎn)的俯角為,求這架無人機(jī)的長度.
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【題目】“長跑”是中考體育必考項(xiàng)目之一,鄧州市某中學(xué)為了了解九年級(jí)學(xué)生“長跑”的情況,隨機(jī)抽取部分九年級(jí)學(xué)生測試成績(男子1000米,女子800米),按長跑時(shí)間長短依次分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),制作出如下兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)所給信息,解答以下問題:
(1)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,C對(duì)應(yīng)的扇形圓心角是 度;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)所抽取學(xué)生的“長跑”測試成績的中位數(shù)會(huì)落在 等級(jí);
(4)該校九年級(jí)有675名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)“長跑”測試成績達(dá)到A級(jí)的學(xué)生有多少人?
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