Question

【題目】設(shè)a，b是任意兩個不等實數(shù)，我們規(guī)定滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當m≤x≤n時，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”．如函數(shù)y＝﹣x+4．當x＝1時，y＝3；當x＝3時，y＝1，即當1≤x≤3時，有1≤y≤3，所以說函數(shù)y＝﹣x+4是閉區(qū)間[1，3]上的“閉函數(shù)”

（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2019]上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由．

（2）若二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣k是閉區(qū)間[1，2]上的“閉函數(shù)”，求k的值；

（3）若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式（用含m，n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）k的值是﹣2；（3）y＝﹣x+m+n．

【解析】

（1）根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進行判斷；

（2）由于二次函數(shù)y=x2-2x-k的圖象開口向上，對稱軸為x=1，所以二次函數(shù)y=x2-2x-k在閉區(qū)間[1，2]內(nèi)，y隨x的增大而增大．當x=1時，y=1，所以k=-2．當x=2時，y=2，所以k=-2．即圖象過點（1，1）和（2，2），所以當1≤x≤2時，有1≤y≤2，符合閉函數(shù)的定義，所以k=-2．

（3）根據(jù)新定義運算法則，分兩種情況：k＞0，k＜0，列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值，即可解答．

解：（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2019]上的“閉函數(shù)”，

理由：∵當x＝1時，y＝2019，當x＝2019時，y＝1，

∴反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2019]上的“閉函數(shù)”；

（2）∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣k＝（x﹣1）2﹣1﹣k，

∴當x＞1時，y隨x的增大而增大，

∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣k是閉區(qū)間[1，2]上的“閉函數(shù)”，

∴當x＝1時，12﹣2×1﹣k＝1，得k＝﹣2，

即k的值是﹣2；

（3）∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，

∴當k＞0時，，

得，

即此函數(shù)的解析式為y＝x；

當k＜0時，，

得，

即此函數(shù)的解析式為y＝﹣x+m+n．