Question

如圖，函數(shù)y=-

1

2

x+6的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線交x軸于C（4，0），試在直線BC上找一點(diǎn)P，使S_△ABP=S_△AOB，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：先求出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，求P點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要分圖①和圖②兩種情況討論．①求出AP的解析式，根據(jù)面積相等求出坐標(biāo)；②根據(jù)S_△BOC=S_△APC時(shí)，S_△ABP=S_△AOB求解．

解答：解：∵函數(shù)y=-

1

2

x+6的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，
∴A（12，0），B（0，6），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵C（4，0），
∴

4k+b=0 b=6

，解得

k=- 3 2 b=6

，
∴直線BC的解析式為y=-

3

2

x+6．
下面求P點(diǎn)坐標(biāo)：
（1）如圖①設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（m，n），
設(shè)AP解析式為y=kx+b，
將A（12，0），P（m，n）代入解析式得，

12k+b=0 mk+b=n

，
解得

k= n m-12 b= -12n m-12

，
又∵n=-

3

2

m+6，
∴b=

18m-72

m-12

，
∴BD=

18m-72

m-12

-6=

12m

m-12

；
∴

1

2

BD•（-m）+

1

2

BD•12=36，
∴BD•（-m）+BD•12=72，
∴BD（12-m）=72，
∴

12m

m-12

•（12-m）=72，
-12m=72，
m=-6，
∴P（-6，15）．
（2）如圖②，當(dāng)S_△BOC=S_△APC時(shí)，
S_△ABP=S_△AOB，設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為t，
則

1

2

OC•BO=

1

2

AC•（-t），
∴4×6=（12-4）（-t），
解得t=-3，
將t=-3代入y=-

3

2

x+6得，-

3

2

x+6=-3，
解得x=6，
∴P（6，-6）．
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，15）或（6，-6）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的一次解析式及三角形的面積問(wèn)題．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用