Question

已知拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4），它與直線y₂=x+1的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在給出的坐標(biāo)系中畫出拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）及直線y₂=x+1的圖象，并根據(jù)圖象，直接寫出使得y₁≥y₂的x的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線與x軸的右邊交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線y₂=x+1于點(diǎn)B，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P使S_△PAB=6？若存在求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)與不等式（組）

專題：

分析：（1）首先求出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）確定出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，依題意畫出函數(shù)的圖象．由圖象可以直觀地看出使得y₁≥y₂的x的取值范圍；
（3）首先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及線段AB的長度；設(shè)△PAB中，AB邊上的高為h，則由S_△PAB=6可以求出h的值．

解答：解：（1）∵拋物線與直線y₂=x+1的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
∴交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2+1=3，即交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．
設(shè)拋物線的解析式為y₁=a（x-1）²+4，把交點(diǎn)坐標(biāo)（2，3）代入得：
3=a（2-1）²+4，
解得a=-1，
∴拋物線解析式為：y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3．

（2）令y₁=0，即-x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=-1，
∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）和（-1，0）．
在坐標(biāo)系中畫出拋物線與直線的圖形，如圖：

根據(jù)圖象，可知使得y₁≥y₂的x的取值范圍為-1≤x≤2．

（3）由（2）可知，點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0）．
令x=3，則y₂=x+1=3+1=4，∴B（3，4），即AB=4．

設(shè)△PAB中，AB邊上的高為h，則h=|x_P-x_A|=|x_P-3|，
S_△PAB=

1

2

AB•h=

1

2

×4×|x_P-3|=2|x_P-3|．
已知S_△PAB=6，2|x_P-3|=6，化簡得：|x_P-3|=3，
解得 x_P=0或x_P=6．
∵點(diǎn)P是拋物線y=-x²+2x+3上的點(diǎn)，
∴當(dāng)x_P=0時(shí)，y_P=3．當(dāng)x_P=6時(shí)，y_P=-21，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（0，3），（6，-21）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、三角形的面積、解不等式（組）等知識點(diǎn)．題目難度不大，注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．