【題目】如圖1,直線l:y=x+x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別相交于A、C兩點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B(1,0)和點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)已知點(diǎn)Q是拋物線y=﹣x2+bx+c在第二象限內(nèi)的一個動點(diǎn).

①如圖1,連接AQ、CQ,設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為t,AQC的面積為S,求St的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;

②連接BQAC于點(diǎn)D,連接BC,以BD為直徑作⊙I,分別交BC、AB于點(diǎn)E、F,連接EF,求線段EF的最小值,并直接寫出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】(1)y=﹣x2x+;(2)①S=﹣t2t(﹣3<t<0),;②EF=,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣3,4﹣).

【解析】

試題(1)根據(jù)直線的解析式得到點(diǎn)把點(diǎn)B(1,0)與點(diǎn)代入于是得到結(jié)論;
(2)①連接OQ,在直線,y=0,得到點(diǎn)根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論;
②解直角三角形得到作直徑ET交⊙I于點(diǎn)T,連接FT,

得到當(dāng)BDAC時,此時直徑BD最小,即直徑ET最小,EF的值最小,推出RtADB中,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

試題解析:(1)在直線,x=0,

∴點(diǎn)

把點(diǎn)B(1,0)與點(diǎn)代入得:

解得:

∴拋物線的解析式為:

(2)①連接OQ,在直線,y=0,

∴點(diǎn)

∴當(dāng),S最大值

②∵點(diǎn)B(1,0),

RtBOC,

作直徑ET交⊙I于點(diǎn)T,連接FT,

當(dāng)BDAC時,此時直徑BD最小,即直徑ET最小,EF的值最小,

RtAOC,

RtADB,

此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

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(2)如圖2,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)P(m,n)是該拋物線上的一個動點(diǎn)(其中m>0,n>0),連接DP交BC于點(diǎn)E.

當(dāng)BDE是等腰三角形時,直接寫出此時點(diǎn)E的坐標(biāo).

又連接CD、CP(如圖3),CDP是否有最大面積?若有,求出CDP的最大面積和此時點(diǎn)P的坐標(biāo);若沒有,請說明理由.

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(1)若直線經(jīng)過、兩點(diǎn),求直線和拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn),使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小,求出點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)設(shè)點(diǎn)為拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn),求使為直角三角形的點(diǎn)的坐標(biāo).

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