Question

如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，DE⊥AB于點(diǎn)E，并且點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AC上運(yùn)動(dòng)，則EF+FB的最小值是

 

，最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,菱形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)可得點(diǎn)B、D關(guān)于AC對(duì)稱軸，連接DF，則BF=DF，從而得到EF+FB=ED+FD，從而得到點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，EF+FB最小，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，EF+FB最大，利用勾股定理列式求出DE即可，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠CDE=90°，利用勾股定理列式求出CE，然后求出最大值即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴點(diǎn)B、D關(guān)于AC對(duì)稱軸，
連接DF，則BF=DF，
所以，EF+FB=EF+FD，
所以，點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，EF+FB最小，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，EF+FB最大，
∵菱形的邊長為6，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×6=3，
∴DE=

62-32

=3

3

，
即EF+FB的最小值是3

3

；
∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠AED=90°，
由勾股定理得，CE=

(3 3 )2+62

=3

7

，
∴EF+FB的最大值是3

7

+6．
故答案為：3

3

；3

7

+6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記菱形的對(duì)稱性得到EF+FB=ED+FD是解題的關(guān)鍵．