Question

15．如圖，?ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，將?ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D′處，折痕交CD邊于點E．
（1）求證：四邊形BCED′是菱形；
（2）若點P是直線l上的一個動點，請計算PD′+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用翻折變換的性質以及平行線的性質得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，進而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形DAD′E是平行四邊形，進而求出四邊形BCED′是平行四邊形，根據(jù)折疊的性質得到AD=AD′，然后又菱形的判定定理即可得到結論；
（2）由四邊形DAD′E是平行四邊形，得到?DAD′E是菱形，推出D與D′關于AE對稱，連接BD交AE于P，則BD的長即為PD′+PB的最小值，過D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG=$\frac{1}{2}$，DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)勾股定理即可得到結論．

解答 證明：（1）∵將?ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D′處，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四邊形DAD′E是平行四邊形，
∴DE=AD′，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴CE=D′B，CE∥D′B，
∴四邊形BCED′是平行四邊形；
∵AD=AD′，
∵AB=2，AD=1，
∴AD=AD′=BD′=CE=BC=1，
∴?BCED′是菱形，

（2）∵四邊形DAD′E是菱形，
∴D與D′關于AE對稱，
連接BD交AE于P，則BD的長即為PD′+PB的最小值，
過D作DG⊥BA于G，
∵CD∥AB，
∴∠DAG=∠CDA=60°，
∵AD=1，
∴AG=$\frac{1}{2}$，DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BG=$\frac{5}{2}$，
∴BD=$\sqrt{D{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴PD′+PB的最小值為$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質，最短距離問題，勾股定理，菱形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．