Question

【題目】（1）如圖（1）所示，已知在△ABC中，O為∠ABC和∠ACB的平分線BO，CO的交點．試猜想∠BOC和∠A的關系，并說明理由.

（2）如圖（2）所示，若O為∠ABC的平分線BO和∠ACE的平分線CO的交點，則∠BOC與∠A的關系又該怎樣？為什么？

Answer 1

【答案】(1)∠BOC=∠A+90°；理由見解析；(2)∠BOC=∠A；理由見解析

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，最后得出結(jié)論；(2)、根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根據(jù)∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案.

試題解析：(1)、∠BOC=∠A+90°．

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，

又∵ BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線， ∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB.

∴ ∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°.

∴ ∠BOC=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)= 90°+∠A.

(2)、∠BOC=∠A．

∵ ∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE， ∴ ∠A=∠ACE-∠ABC, ∠BOC=∠OCE-∠OBC

又∵ BO，CO分別是∠ABC和∠ACE的平分線， ∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE.

∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠ACE-∠ABC=(∠ACE-∠ABC)=∠A．