【題目】如圖,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2AD,點E,F(xiàn)分別是AB,BC邊的中點,連接AF,CE交于點M,連接BM并延長交CD于點N,連接DE交AF于點P,則結(jié)論:①∠ABN=∠CBN;②DE∥BN;③△CDE是等腰三角形;④EM:BE= :3;⑤S△EPM= S梯形ABCD , 正確的個數(shù)有( )
A.5個
B.4個
C.3個
D.2個
【答案】B
【解析】連接DF,AC,EF,如圖所示:
∵E、F分別為AB、BC的中點,且AB=BC,
∴AE=EB=BF=FC,
在△ABF和△CBE中,
,
∴△ABF≌△CBE(SAS),
∴∠BAF=∠BCE,AF=CE,
在△AME和△CMF中,
,
∴△AME≌△CMF(AAS),
∴EM=FM,
在△BEM和△BFM中,
,
∴△BEM≌△BFM(SSS),
∴∠ABN=∠CBN,選項①正確;
∵AE=AD,∠EAD=90°,
∴△AED為等腰直角三角形,
∴∠AED=45°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABN=∠CBN=45°,
∴∠AED=∠ABN=45°,
∴ED∥BN,選項②正確;
∵AB=BC=2AD,且BC=2FC,
∴AD=FC,又AD∥FC,
∴四邊形AFCD為平行四邊形,
∴AF=DC,又AF=CE,
∴DC=EC,
則△CED為等腰三角形,選項③正確;
∵EF為△ABC的中位線,
∴EF∥AC,且EF= AC,
∴∠MEF=∠MCA,∠EFM=∠MAC,
∴△EFM∽△CAM,
∴EM:MC=EF:AC=1:2,
設(shè)EM=x,則有MC=2x,EC=EM+MC=3x,
設(shè)EB=y,則有BC=2y,
在Rt△EBC中,根據(jù)勾股定理得:EC= = y,
∴3x= y,即x:y= :3,
∴EM:BE= :3,選項④正確;
∵E為AB的中點,EP∥BM,
∴P為AM的中點,
∴S△AEP=S△EPM= S△AEM,
又S△AEM=S△BEM,且S△BEM=S△BFM,
∴S△AEM=S△BEM=S△BFM= S△ABF,
∵四邊形ABFD為矩形,
∴S△ABF=S△ADF,又S△ADF=S△DFC,
∴S△ABF=S△ADF=S△DFC= S梯形ABCD,
∴S△EPM= S梯形ABCD,選項⑤錯誤.
則正確的個數(shù)有4個.
故答案為:B.
連接DF,AC,EF,如圖所示,由E、F分別為AB、BC的中點,且AB=BC,得到EB=FB,再由一對公共角相等,利用“SAS”可得出△ABF與△CBE全等,利用AAS可得出△AME與△CMF全等,由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出ME=MF,再由BE=BF,BM=BM,利用SSS得到△BEM與△BFM全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得出∠ABN=∠CBN,選項①正確;由AD=AE,梯形為直角梯形,得到∠EAD為直角,可得出△AED為等腰直角三角形,可得出∠AED為45°,由∠ABC為直角,且∠ABN=∠CBN,可得出∠ABN為45°,根據(jù)同位角相等可得出DE平行于BN,選項②正確;先得到AD=FC,又AD與FC平行,得到ADCF為平行四邊形,可得出AF=DC,又AF=CE,等量代換可得出DC=EC,即△DCE為等腰三角形,選項③正確;由EF為△ABC的中位線,得出△EFM與△ACM相似,進而可得出EM:MC=1:2,設(shè)EM=x,則有MC=2x,用EM+MC表示出EC,設(shè)EB=y,根據(jù)BC=2EB,表示出BC,在直角三角形BCE中,利用勾股定理表示出EC,兩者相等得到x與y的比值,即為EM與BE的比值,即可判斷選項④正確與否;由E為AB的中點,利用等底同高得到△AME的面積與△BME的面積相等,由△BME與△BFM全等,得到面積相等,可得出三個三角形的面積相等都為△ABF面積的,進一步可得出△AEP的面積等于△PEM的面積,得到△PEM的面積為△ABF面積的,由ABFD為矩形得到△ABF與△ADF全等,面積相等,由△ADF與△CFD全等得到面積相等,可得出三個三角形面積相等都為梯形面積的,綜上得到△PEM的面積為梯形面積的,可得出選項⑤錯誤,綜上,即可得到所求正確的個數(shù).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方形中,為平面直角坐標系的原點,點的坐標為,點的坐標為且滿足,點在第一象限內(nèi),點從原點出發(fā),以每秒個單位長度的速度沿著的線路移動.
求點的坐標為 ;當(dāng)點移動秒時,點的坐標為
在移動過程中,當(dāng)點移動秒時,求的面積.
在的條件下,坐標軸上是否存在點,使的面積與的面積相等,若存在,求點的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別在AD、BC邊上,且AE=CF.
求證:(1)△ABE≌△CDF;
(2)四邊形BFDE是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C為AB上一點,作CD⊥AB交⊙O于D,連接AD,將△ACD沿AD翻折至△AC′D.
(1)請你判斷C′D與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)過點B作BB′⊥C′D′于B′,交⊙O于E,若CD= ,AC=3,求BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法,通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起,從而方便解決問題.已知,中,,,點、在邊上,且.
(1)如圖,當(dāng)時,將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,連接,
①求的度數(shù);
②求證:;
(2)如圖,當(dāng)時,猜想、、的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖,當(dāng),,時,請直接寫出的長為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A,B,C三名大學(xué)生競選系學(xué)生會主席,他們的筆試成績和口試成績(單位:分)分別用了兩種方式進行了統(tǒng)計,如表和圖一:
A | B | C | |
筆試 | 85 | 95 | 90 |
口試 | 80 | 85 |
(1)請將表一和圖一中的空缺部分補充完整.
(2)競選的最后一個程序是由本系的300名學(xué)生進行投票,三位候選人的得票情況如圖二(沒有棄權(quán)票,每名學(xué)生只能推薦一個),請計算每人的得票數(shù).
(3)若每票計1分,系里將筆試、口試、得票三項測試得分按4:3:3的比例確定個人成績,請計算三位候選人的最后成績,并根據(jù)成績判斷誰能當(dāng)選.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是對角線AC上一點,F(xiàn)是線段BC延長線上一點,且CF=AE,連接BE、EF.
(1)若E是線段AC的中點,如圖1,易證:BE=EF(不需證明);
(2)若E是線段AC或AC延長線上的任意一點,其它條件不變,如圖2、圖3,線段BE、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系,直接寫出你的猜想;并選擇一種情況給予證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線 與 軸交于 、 兩點(點 在點 的左側(cè)),點 的坐標為 ,與 軸交于點 ,作直線 .動點 在 軸上運動,過點 作 軸,交拋物線于點 ,交直線 于點 ,設(shè)點 的橫坐標為 .
(Ⅰ)求拋物線的解析式和直線 的解析式;
(Ⅱ)當(dāng)點 在線段 上運動時,求線段 的最大值;
(Ⅲ)當(dāng)以 、 、 、 為頂點的四邊形是平行四邊形時,直接寫出 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=1,點D、E在直線BC上運動,設(shè)BD=x,CE=y(tǒng).如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為.
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