Question

【題目】旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學問題中一種重要的思想方法，通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問題.已知，中，，，點、在邊上，且.

（1）如圖，當時，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，

①求的度數(shù)；

②求證：；

（2）如圖，當時，猜想、、的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）如圖，當，，時，請直接寫出的長為________.

Answer 1

【答案】（1）①，②見解析；（2）；見解析，（3）.

【解析】

（1）①由旋轉(zhuǎn)得，，，通過求出∠BAD+∠CAE=30°，即可得答案；②通過證明∠DAF=∠DAE，利用SAS即可證明△ADE≌△ADF；（2）如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠C=∠ABC=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，即可證明∠DBF=90°，由（1）可知△ADE≌△ADF，可得DF=DE，根據(jù)勾股定理即可得答案；（3）如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)120°到△AGB的位置，連接，過D作DH⊥BG于H，同（2）可得∠GBD=60°，DG=DE，可得∠BDH=30°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BH的長，即可得GH的長，利用勾股定理可得DH的長，在Rt△DHG中，利用勾股定理求出DG的長，進而根據(jù)△AGD≌△AEC即可得答案.

（1）①由旋轉(zhuǎn)得，，，

∵

∴

②∵∠DAE=30°，∠DAF=30°，

∴∠DAF=∠DAE

在和中

∴

（2）

如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接

∴，

由（1）得

∴

∵，

∴

∴

∴在中，

∴

（3）如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)120°到△AGB的位置，連接過D作DH⊥BG于H，

∴BG=CE=5，∠C=∠ABG，

∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠C=∠ABC=30°，

∴∠GBD=∠ABG+∠ABC=30°+30°=60°，

∵DH⊥BG，

∴∠BDH=30°，

∴BH=BD=4×=2，DH===2，

∴GH=BG-BH=5-2=3，

由（1）可知△AGD≌△AEC，

∴DG=DE，

在Rt△DHG中，DG===，

∴DE=DG=.

故答案為：