【題目】旋轉變換是解決數(shù)學問題中一種重要的思想方法,通過旋轉變換可以將分散的條件集中到一起,從而方便解決問題.已知,中,,,點、在邊上,且.
(1)如圖,當時,將繞點順時針旋轉到的位置,連接,
①求的度數(shù);
②求證:;
(2)如圖,當時,猜想、、的數(shù)量關系,并說明理由;
(3)如圖,當,,時,請直接寫出的長為________.
【答案】(1)①,②見解析;(2);見解析,(3).
【解析】
(1)①由旋轉得,,,通過求出∠BAD+∠CAE=30°,即可得答案;②通過證明∠DAF=∠DAE,利用SAS即可證明△ADE≌△ADF;(2)如圖,將繞點順時針旋轉到的位置,連接根據(jù)等腰直角三角形的性質可得∠C=∠ABC=45°,由旋轉的性質可得,,即可證明∠DBF=90°,由(1)可知△ADE≌△ADF,可得DF=DE,根據(jù)勾股定理即可得答案;(3)如圖,將繞點順時針旋轉120°到△AGB的位置,連接,過D作DH⊥BG于H,同(2)可得∠GBD=60°,DG=DE,可得∠BDH=30°,利用含30°角的直角三角形的性質可得BH的長,即可得GH的長,利用勾股定理可得DH的長,在Rt△DHG中,利用勾股定理求出DG的長,進而根據(jù)△AGD≌△AEC即可得答案.
(1)①由旋轉得,,,
∵
∴
②∵∠DAE=30°,∠DAF=30°,
∴∠DAF=∠DAE
在和中
∴
(2)
如圖,將繞點順時針旋轉到的位置,連接
∴,
由(1)得
∴
∵,
∴
∴
∴在中,
∴
(3)如圖,將繞點順時針旋轉120°到△AGB的位置,連接過D作DH⊥BG于H,
∴BG=CE=5,∠C=∠ABG,
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠C=∠ABC=30°,
∴∠GBD=∠ABG+∠ABC=30°+30°=60°,
∵DH⊥BG,
∴∠BDH=30°,
∴BH=BD=4×=2,DH===2,
∴GH=BG-BH=5-2=3,
由(1)可知△AGD≌△AEC,
∴DG=DE,
在Rt△DHG中,DG===,
∴DE=DG=.
故答案為:
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為創(chuàng)建“美麗鄉(xiāng)村”,某村計劃購買甲、乙兩種樹苗共400棵,對本村道路進行綠化改造,已知甲種樹苗每棵200元,乙種樹苗每棵300元.
若購買兩種樹苗的總金額為90000元,求需購買甲、乙兩種樹苗各多少棵?
若購買甲種樹苗的金額不少于購買乙種樹苗的金額,則至少應購買甲種樹苗多少棵?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在扇形OAB中,∠AOB=90°,半徑OA=2 ,將扇形OAB沿過點B的直線折疊,點O恰好落在 上的點D處,折痕交OA于點C,則陰影部分的面積是 .
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【題目】在正方形ABCD中,過點A引射線AH,交邊CD于點H(點H與點D不重合).通過翻折,使點B落在射線AH上的點G處,折痕AE交BC于E,延長EG交CD于F.
(感知)(1)如圖①,當點H與點C重合時,猜想FG與FD的數(shù)量關系,并說明理由.
(探究)(2)如圖②,當點H為邊CD上任意一點時,(1)中結論是否仍然成立?請說明理由.
(應用)(3)在圖②中,當DF=3,CE=5時,直接利用探究的結論,求AB的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某莊有甲、乙兩家草莓采摘園的草莓銷售價格相同,春節(jié)期間,兩家采摘園將推出優(yōu)惠方案,甲園的優(yōu)惠方案是:游客進園需購買門票,采摘的草莓六折優(yōu)惠;乙園的優(yōu)惠方案是:游客進園不需購買門票,采摘的草莓超過一定數(shù)量后,超過部分打折優(yōu)惠.優(yōu)惠期間,某游客的草莓采摘量為(千克),在甲園所需總費用為(元),在乙園所需總費用為(元),、與之間的函數(shù)關系如圖所示.
(1)甲采摘園的門票是_____元,兩個采摘園優(yōu)惠前的草莓單價是每千克____元;
(2)當時,求與的函數(shù)表達式;
(3)游客在“春節(jié)期間”采摘多少千克草莓時,甲、乙兩家采摘園的總費用相同.
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【題目】如圖,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2AD,點E,F(xiàn)分別是AB,BC邊的中點,連接AF,CE交于點M,連接BM并延長交CD于點N,連接DE交AF于點P,則結論:①∠ABN=∠CBN;②DE∥BN;③△CDE是等腰三角形;④EM:BE= :3;⑤S△EPM= S梯形ABCD , 正確的個數(shù)有( )
A.5個
B.4個
C.3個
D.2個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,S△ABC=8,點M,P,N分別是邊AB,BC,AC上任意一點,則:
(1)AB的長為____________.
(2)PM+PN的最小值為____________.
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【題目】如圖,方格紙中小正方形的邊長為1,△ABC的三個頂點都在小正方形的格點上,求:
(1)邊AC,AB,BC的長;
(2)點C到AB邊的距離;
(3)求△ABC的面積.
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