Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，AB=4，D是AC邊上一動點（不與A、C點重合），EF垂直平分BD，分別交AB、BC于點E、F，設(shè)CD=x，AE=y．
（1）求證：△AED∽△CDF；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．并寫出定義域；
（3）過點D作DH⊥AB，垂足為點H，當EH=1時，求線段CD的長．

Answer 1

考點：相似形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義,特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題

分析：（1）易證△BEF≌△DEF，則有∠EDF=∠EBF=60°，由∠A=∠C=∠EDF=60°即可證到△AED∽△CDF；
（2）由△AED∽△CDF可得DF=

4x-xy

y

，CF=

4x-x2

y

，然后利用DF+CF=BF+CF=BC=4就可解決問題；
（3）在Rt△AHD中，AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，∠A=60°，運用三角函數(shù)可求得y=3-

1

2

x，從而有

8x-x2

4+x

=3-

1

2

x，解這個方程就可解決問題．

解答：解：（1）證明：如圖1，
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，F(xiàn)B=FD．
在△BEF和△DEF中，

BE=DE FB=FD EF=EF

，
∴△BEF≌△DEF（SSS），
∴∠EBF=∠EDF．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠ADE+∠FDC=180°-60°=120°．
又∵∠AED+∠ADE=180°-60°=120°，
∴∠AED=∠FDC，
∴△AED∽△CDF；

（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=AB=4．
∵CD=x，AE=y，
∴AD=4-x，ED=EB=4-y．
∵△AED∽△CDF，
∴

ED

DF

=

AD

CF

=

AE

CD

，
∴

4-y

DF

=

4-x

CF

=

y

x

，
∴DF=

4x-xy

y

，CF=

4x-x2

y

．
∵DF+CF=BF+CF=BC=4，
∴

4x-xy

y

+

4x-x2

y

=4，
整理得：y=

8x-x2

4+x

（0＜x＜4）；

（3）如圖2，

在Rt△AHD中，
∵AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，∠A=60°，
∴cosA=

AH

AD

=

y-1

4-x

=

1

2

，
∴y=3-

1

2

x，
∴

8x-x2

4+x

=3-

1

2

x，
整理得：x²-14x+24=0，
解得：x₁=2，x₂=12，
∵0＜x＜4，
∴x=2，
即CD的長為2．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、解一元二次方程等知識，證到∠EDF=60°是解決第（1）小題的關(guān)鍵，運用相似三角形的性質(zhì)求出DF和CF（用x、y的代數(shù)式表示）并利用DF+CF=4是解決第（2）小題的關(guān)鍵，在Rt△AHD中運用三角函數(shù)得到y(tǒng)與x的另一個關(guān)系是解決第（3）小題的關(guān)鍵．