Question

已知：以原點(diǎn)O為圓心、5為半徑的半圓與y軸交于A、G兩點(diǎn)，AB與半圓相切于點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，y_B）（如圖1）；過半圓上的點(diǎn)C（x_C，y_C）作y軸的垂線，垂足為D；Rt△DOC的面積等于

3

8

x_C²．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）①命題“如圖2，以y軸為對稱軸的等腰梯形MNPQ與M₁N₁P₁Q₁的上底和下底都分別在同一條直線上，NP∥MQ，PQ∥P₁Q₁，且NP＞MQ．設(shè)拋物線y=a₀x²+h₀過點(diǎn)P、Q，拋物線y=a₁x²+h₁過點(diǎn)P₁、Q₁，則h₀＞h₁”是真命題．請你以Q（3，5）、P（4，3）和Q₁（p，5）、P₁（p+1，3）為例進(jìn)行驗(yàn)證；
②當(dāng)圖1中的線段BC在第一象限時，作線段BC關(guān)于y軸對稱的線段FE，連接BF、CE，點(diǎn)T是線段BF上的動點(diǎn)（如圖3）；設(shè)K是過T、B、C三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)，求K的縱坐標(biāo)y_K的取值范圍．

Answer 1

（1）y_B=5=半徑；

1

2

x_Cy_C=

3

8

x_C²，x_C²+y²_C=25，
得C（4，3）（2分）和C（4，-3）

（2）①過點(diǎn)P（4，3）、Q（3，5）的拋物線y=a₀x²+h₀
即為y=-

2

7

x²+

53

7

，得h₀=

53

7

．
過P₁（p+1，3）、Q₁（p，5）的拋物線y=a₁x²+h₁
為y=-

2

2p+1

•x²+

2p2+10p+5

2p+1

，
h₁=

2p2+10p+5

2p+1

．
h₀-h₁=

53

7

-

2p2+10p+5

2p+1

=

-2(7p+3)(p-3)

7(2p+1)

=

2(7p+3)(3-p)

7(2p+1)

，
∵M(jìn)Q＞M₁Q₁，其中MQ=6，
∴0≤p=

1

2

M₁Q₁＜3，可知0≤p＜3；
∴7p+3＞0，2p+1＞0，3-p＞0，
因而得到h₀-h₁＞0，證得h₀＞h₁．
或者說明2p+1＞0，-14p²+36p+18在0≤p＜3時總是大于0，
得到h₀-h₁＞0．
②顯然拋物線y=ax²+bx+c的開口方向向下，a＜0．
當(dāng)T運(yùn)動到B點(diǎn)時，這時B、T、K三點(diǎn)重合即B為拋物線的頂點(diǎn)，∴y_K≥5；
將過點(diǎn)T、B、C三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c沿x軸平移，使其對稱軸為y軸，這時y_K不變．
則由上述①的結(jié)論，
當(dāng)T在FB上運(yùn)動時，過F（-3，5）、B（3，5）、C（4，3）三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)為最高點(diǎn)，
∴y_K≤

53

7

，
∴5≤y_K≤

53

7

．