【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,AB=8,點C和點D是⊙O上關于直線AB對稱的兩個點,連接OC、AC,且∠BOC<90°,直線BC和直線AD相交于點E,過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點F,與直線AD相交于點G,且∠GAF=GCE

(1)求證:直線CG為⊙O的切線;

(2)若點H為線段OB上一點,連接CH,滿足CB=CH,

①△CBH∽△OBC

②求OH+HC的最大值

【答案】(1)證明見解析;(2)①證明見解析;②5.

【解析】

(1)由題意可知:∠CAB=GAF,由圓的性質可知:∠CAB=OCA,所以∠OCA=GCE,從而可證明直線CG是⊙O的切線;

(2)①由于CB=CH,所以∠CBH=CHB,易證∠CBH=OCB,從而可證明CBH∽△OBC;

②由CBH∽△OBC可知:,所以HB=,由于BC=HC,所以OH+HC=4+BC,利用二次函數(shù)的性質即可求出OH+HC的最大值.

1)由題意可知:∠CAB=GAF,

AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°

OA=OC,

∴∠CAB=OCA,

∴∠OCA+OCB=90°,

∵∠GAF=GCE,

∴∠GCE+OCB=OCA+OCB=90°,

OC是⊙O的半徑,

∴直線CG是⊙O的切線;

(2)①∵CB=CH,

∴∠CBH=CHB,

OB=OC,

∴∠CBH=OCB,

∴△CBH∽△OBC

②由CBH∽△OBC可知:

AB=8,

BC2=HBOC=4HB,

HB=,

OH=OB-HB=4-

CB=CH,

OH+HC=4+BC,

當∠BOC=90°,

此時BC=4

∵∠BOC<90°,

0<BC<4,

BC=x則CH=x,BH=

x=2時,

OH+HC可取得最大值,最大值為5

練習冊系列答案
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【題目】 如圖1,在平面直角坐標系中,第一象限內長方形ABCD,ABy軸,點A是(1,1),點Cab),滿足

1)求長方形ABCD的面積;

2)如圖2,長方形ABCD以每秒1個單位長度的速度向右平移,同時點E從原點O出發(fā),沿x軸以每秒2個單位長度的速度向右運動,設運動時間為t秒.

t=5時,求三角形OMC的面積;

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1)小穎的爸爸媽媽購買的商品總價為(),按方案一應該支付 元;按方案二應該支付 元;(用含的代數(shù)式表示)

2)若小穎的爸爸媽媽購買的商品總價為300元,請你幫助小穎計算一下,按哪種方案支付更劃算;

3)若小穎的爸爸媽媽購買的商品總價為500元,請你幫助小穎計算一下,按哪種方案支付更劃算.

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1)請寫出各點的坐標;

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1)每臺電腦機箱、液晶顯示器的進價各是多少元?

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