【題目】如圖1,E是正方形ABCDAB上的一點,連接BDDE,將∠BDE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G

1)探究線段BEBFDB之間的數(shù)量關(guān)系,寫出結(jié)論并給出證明;

2)當(dāng)四邊形ABCD為菱形,∠ADC=60,點E是菱形ABCDAB所在直線上的一點,連接BD、DE,將∠BDE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G

①如圖2,點E在線段AB上時,請?zhí)骄烤段BEBFBD之間的數(shù)量關(guān)系,寫出結(jié)論并給出證明;

②如圖3,點E在線段AB的延長線上時,DE交射線BC于點M.若BE=1,AB=2,直接寫出線段GM的長度.

【答案】1,證明見解析;(2)①,證明見解析;②

【解析】

1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證得△BDG是等腰直角三角形,得到,再證明△FDG≌△EDBASA),得到FG=BE即可得到;

2)①根據(jù)菱形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DBG=∠G=30°,從而證明△EDB≌△FDGASA),得到BF+BE=BF+FG=BG,過點DDP⊥BG于點P,利用勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)得到BG=,從而得出即可;
②過點AANBDBD于點N,根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì),計算BDBF的長,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得BM的長,根據(jù)線段的差可得結(jié)論.

解:(1,

理由:由旋轉(zhuǎn)可知,∠BDE=FDG,∠BDG=90°

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠CBD=45°

∴∠G=45°,

∴∠G=∠CBD=45°

BD=DG,

BDG是等腰三角形,

,

∵在△FDG與△EDB中,

FDG=∠EDB,∠G=∠DBE=45°,BD=DG,

∴△FDG≌△EDBASA),

FG=BE

BE+BF=FG+BF=BG=,

2)①

理由:如圖2,在菱形ABCD中,∠ADB=CDB=∠ADC=30°,

由旋轉(zhuǎn)120°可知,∠EDF=∠BDG=120°,∠EDB=∠FDG,

在△DBG中,∠G=180°-120°-30°=30°,

∴∠DBG=∠G=30°,

DB=DG

∴△EDB≌△FDGASA),

BE=FD

BF+BE=BF+FG=BG,

過點DDP⊥BG于點P

BD=DG,∴BG=2BP,

∵∠DBC=30°,

DP=,

∴在Rt△BDP中,,

BG=

②如圖3,過點AANBDBD于點N,

Rt△ABN中,∠ABN=30°,AB=2

AN=1,BN=

BD=2BN=2,

DC∥BE,

,

CM+BM=2

BM=,

Rt△BDP中,∠DBP=30°,BD=2,

BP=3

由旋轉(zhuǎn)得:BD=FD,

BF=2BP=6

GM =BG-BM=6+1-=

練習(xí)冊系列答案
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根據(jù)圖中信息解決下列問題:

(1)本次共調(diào)查______名學(xué)生,扇形統(tǒng)計圖中B所對應(yīng)的扇形的圓心角為______度;

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;

(3)該校參加實踐活動課的學(xué)生共1200人,求該校參加D類實踐活動課的學(xué)生大約多少人?

(4)選修D類數(shù)學(xué)實踐活動的學(xué)生中有2名女生和2名男生表現(xiàn)出色,現(xiàn)從4人中隨機(jī)抽取2人做校報設(shè)計,請用列表或畫樹狀圖法求所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的概率.

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2)創(chuàng)新小組將圖 1 中的△ACD 以點 A 為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使 B、 AD 三點在同一條直線上,得到如圖 3 所示的△ACD,連接 CC',取 CC′的中 F,連接 AF 并延長至點 G,使 FGAF,連接 CG、CG,得到四邊形 ACGC′, 發(fā)現(xiàn)它是正方形,請你證明這個結(jié)論.

實踐探究:

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