Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B，C的一動點，過點P作PQ⊥AB，垂足為Q，連接AP．若AC=3，BC=4，則△AQP的面積的最大值是（　　）

• A． $\frac{25}{4}$
• B． $\frac{25}{8}$
• C． $\frac{75}{32}$
• D． $\frac{75}{16}$

Answer 1

分析 先利用“兩角法”可以證得△PBQ與△ABC相似，再設BP=x（0＜x＜4）．由勾股定理、相似三角形的對應邊成比例以及三角形的面積公式，列出S與x的函數關系式，利用配方法求得二次函數的最值．

解答 解：設BP=x（0＜x＜4），由勾股定理得 AB=5，
∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△PBQ∽△ABC，
∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{QB}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，即 $\frac{PQ}{3}$=$\frac{QB}{4}$=$\frac{x}{5}$
∴PQ=$\frac{3}{5}$x，QB=$\frac{4}{5}$x
S_△APQ=$\frac{1}{2}$PQ×AQ=$-\frac{6}{25}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x=$-\frac{6}{25}（x-\frac{25}{8}）^{2}+\frac{75}{32}$
∴當x=$\frac{25}{8}$時，△APQ的面積最大，最大值是$\frac{75}{32}$．
故選（C）

點評 本題綜合考查了相似三角形的判定與性質，三角形的面積公式以及二次函數的最值的求法等知識點的綜合應用．在證明三角形相似時，要充分利用公共角，在利用相似三角形的性質時，要找準對應邊．