Question

20．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線BD上，以O(shè)D的長(zhǎng)為半徑的⊙O與AD、BD分別交于點(diǎn)E、F，且∠ABE=∠DBC．
（1）試判斷BE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）若AB=$\sqrt{3}$，AE=1，求此時(shí)⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）首先連接OE，由四邊形ABCD是矩形，∠ABE=∠DBC，可證得∠2+∠1=90°，即可得∠BEO=90°，則可證得BE與⊙O相切；
（2）由AB=$\sqrt{3}$，AE=1，則可求得∠ABE=30°，繼而求得∠OBE=30°，BE=2AE=2，然后解直角三角形OBE，即可求得OE的長(zhǎng)，即可得⊙O的半徑．

解答 （1）證明：連接OE．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠C=∠A=90°．
∴∠ADB=∠DBC，∠ABE+∠AEB=90°．
∵OD=OE，∠ABE=∠DBC，
∴∠OED=∠ADB=∠ABE．
∴∠OED+∠AEB=90°．
∴∠BEO=90°．
∵點(diǎn)E在⊙O上，
∴BE與⊙O相切；

（2）解：∵AB=$\sqrt{3}$，AE=1，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABE=30°，
∴∠OBE=30°，BE=2AE=2，
∵tan∠OBE=$\frac{OE}{BE}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定、矩形的性質(zhì)以及直角三角函數(shù)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．