Question

如圖，已知直線y=-

3

4

x+3與x軸、y軸分別相交于點A、B，點P是x軸正半軸上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交直線AB于點Q，點Q隨點P的運動而運動，連結(jié)OQ，設(shè)OP=t．
（1）求點A，B的坐標．
（2）當OQ平分∠AOB時，求t的值．
（3）當△OAQ是等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）在y=-

3

4

x+3中分別令y=0、x=0可求得A、B兩點的坐標；
（2）由條件可知OP=PQ=t，可表示出Q點的坐標，Q在直線上，代入直線解析式可求得t；
（3）分OQ=AQ、OA=AQ、OQ=OA三種情況，根據(jù)條件分別得到關(guān)于t的方程可求得t的值．

解答：解：（1）在y=-

3

4

x+3中令y=0，可解得x=4，令x=0可解得y=3，
則A點坐標為（4，0），B點坐標為（0，3）；
（2）當OQ平分∠AOB時，則∠POQ=45°，
∴OP=PQ=t，
∴Q點坐標為（t，t），
又∵Q在直線y=-

3

4

x+3上，代入可得t=-

3

4

t+3，解得t=

12

7

，
即當OQ平分∠AOB時，t的值為

12

7

；
（3）當△AOQ為等腰三角形時，分三種情況：
①當OQ=AQ時，則可知OQ=BQ=AQ，即Q為AB的中點，
∵PQ⊥x軸，OB⊥x軸，
∴PQ∥OB，
∴P為OA中點，
∴OP=t=

1

2

OA=2；
②當OA=AQ時，AQ=4，此時AP=|t-4|，
在Rt△AOB中，可求得AB=5，
∵PQ∥OB，
∴

AP

OA

=

AQ

AB

，且AP=OA-OP，
∴

|t-4|

4

=

4

5

，解得t=

4

5

或

36

5

；
③當OQ=OA時，此時Q點只能在y軸左側(cè)，不合題意，
綜上可知當△OAQ為等腰三角形時，t的值為2或

4

5

或

36

5

．

點評：本題主要考查一次函數(shù)與坐標軸的交點及等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例等知識的綜合應(yīng)用，其中（1）屬于基礎(chǔ)題目掌握方法即可，在（2）中用t表示出Q點的坐標是解題的關(guān)鍵，在（3）中結(jié)合圖形分三種情況化動為靜用t表示出線段的長度，得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．題目難度不大，屬于基礎(chǔ)知識的綜合．