Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（3，0）、C（0，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（-5，0），點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，直線DP與y軸交于點(diǎn)M．問：
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí)，直線DP平分矩形OABC的面積？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出P的位置，并且直接寫出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，是否存在使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、半徑長(zhǎng)為R（R＞0）畫圓，所得到的圓稱為動(dòng)圓P．若設(shè)動(dòng)圓P的直徑長(zhǎng)為AC，過點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F．請(qǐng)?zhí)角笏倪呅蜠EPF的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)DP的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．
注：第（3）問請(qǐng)用備用圖解答．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)過對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分矩形，可得P點(diǎn)坐標(biāo)是AC的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得對(duì)應(yīng)邊的比成比例，根據(jù)比例的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)DF=DE最短，可得四邊形DEPF面積最小，根據(jù)垂線段的長(zhǎng)度最短，可得DP⊥AC，可得DP與AC的交點(diǎn)，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得DP的長(zhǎng)．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，直線DP平分矩形OABC的面積，P（

3

2

，2）；
（2）△DOM∽△ABC時(shí)，

DO

AB

=

OM

BC

，

5

4

=

OM

3

，OM=

15

4

，即M（0，

15

4

）；
△DOM∽△CBA時(shí)，

DO

CB

=

OM

BA

，

5

3

=

OM

4

，OM=

20

3

即M（0，

20

3

）；
（3）如圖：

當(dāng)DP⊥AC時(shí)，四邊形DEPF的面積存在最小值，
AC的解析式為y=-

4

3

x+4，
DP⊥AC時(shí)，k_DP=

3

4

，
設(shè)DP的解析式為y=

3

4

x+b．
把D（-5，0）代入函數(shù)解析式y(tǒng)=

3

4

x+b，得

3

4

×（-5）+b=0．
解得b=

15

4

，
DP的解析式y(tǒng)=

3

4

x+

15

4

，
P點(diǎn)坐標(biāo)是DP與AC的交點(diǎn)，得

y= 3 4 x+ 15 4 y=- 4 3 x+4

，
解得

x= 3 25 y= 384 100

，
p（

3

25

，

384

100

）．
DP=

( 3 25 +5)2+( 384 100 )2

=

262144+147456 10000

=

640

100

=

32

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了矩形的性質(zhì)：過矩形對(duì)角線的點(diǎn)的直線平分矩形，相似三角形的性質(zhì)，一直角邊的長(zhǎng)一定，斜邊長(zhǎng)越短另一直角邊越短，面積越小，計(jì)算量大要認(rèn)真計(jì)算．