Question

15．如圖，點E為正方形ABCD中AD邊上的一個動點，AB=16，以BE為邊畫正方形BEFG，邊EF與邊CD交于點H．
（1）當E為邊AD的中點時，求DH的長；
（2）當tan∠ABE=$\frac{3}{4}$時，連接CF，求CF的長；
（3）連接CE，求△CEF面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠D=∠A=∠BEF=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AEB=∠DHE，根據(jù)相似三角形的想知道的$\frac{DH}{AE}=\frac{DE}{AB}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；
（2）過F作FG⊥DC于點G，F(xiàn)M⊥AD，交AD的延長線于M，連接CF，根據(jù)已知條件得到AE=12，求得DE=4，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠MEF=∠ABE，等量代換得到tan∠MEF=$\frac{3}{4}$求得ME=16，F(xiàn)M=12，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（3）由于S_△CEF=S_△CHF+S_△CHE=$\frac{1}{2}$CH•EM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=AB=16，求得S_△CEF=8CH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{DE}{AB}=\frac{DH}{AE}$，設AE為x，于是得到DH=$\frac{1}{16}$（-x²+16x）=-$\frac{1}{16}$（x-8）²+4≤4，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形BGFE是正方形，
∴∠D=∠A=∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEH=∠DEH+∠DHE=90°，
∴∠AEB=∠DHE，
∴△EDH∽△BAE，
∴$\frac{DH}{AE}=\frac{DE}{AB}$，
∵E為邊AD的中點，
∴DE=AE=8，
∴$\frac{DH}{8}=\frac{8}{16}$，
∴DH=4；

（2）過F作FG⊥DC于點G，F(xiàn)M⊥AD，交AD的延長線于M，連接CF，
∵tan∠ABE=$\frac{3}{4}$，AB=16，
∴AE=12，
∴DE=4，
∵∠MEF+∠AEB=∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠MEF=∠ABE，
∴tan∠MEF=$\frac{3}{4}$，
∴ME=16，F(xiàn)M=12，
∴DM=12，
∴DM=MF，
∴四邊形DGFM是正方形，
∴FG=12，HG=9，
∴CG=4，
∴FC=$\sqrt{F{G}^{2}+C{G}^{2}}$=4$\sqrt{10}$；

（3）∵S_△CEF=S_△CHF+S_△CHE=$\frac{1}{2}$CH•EM，
∵△EMF≌△BAE，
∴EM=AB=16，
∴S_△CEF=8CH，
∵△EDH∽△BAE，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DH}{AE}$，
設AE為x，則DH=$\frac{1}{16}$（-x²+16x）=-$\frac{1}{16}$（x-8）²+4≤4，
∴DH≤4，
∴CH≥12，CH最小值是12，
∴△CEF面積的最小值是96．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、三角形的面積公式及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是找出線段DN的最大值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)三角形的面積公式找出其去最值的條件，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)去解決最值問題．