Question

10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（1，0）、B（0，-2），將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC．
（1）請直接寫出點C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，已知拋物線$y=-\frac{1}{2}{x^2}+bx+2$經(jīng)過點C．
①求拋物線的解析式；
②若在拋物線上存在點M，使得以M為圓心，以$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$為半徑的圓恰好與直線BC相切，請求出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）作CH⊥x軸于H，如圖1，先利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=90°，然后證明△ABO≌△CAH得到CH=OA=1，AH=OB=2，則可得到C點坐標(biāo)；
（2）①把C點坐標(biāo)代入$y=-\frac{1}{2}{x^2}+bx+2$中求出b即可得到拋物線解析式；
②先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-2，設(shè)直線BC與x軸的交于點G，如圖2，則G（6，0），利用勾股定理計算出BG=2$\sqrt{10}$，再作出與BC平行且到BC的距離為$\frac{\sqrt{10}}{2}$的兩直線KM或K′M′，接著利用相似比求出BK和BK′，利用直線平行的問題得到KM和K′M′的解析式，然后分別與拋物線的解析式組成方程組，再解方程組即可得到M點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）作CH⊥x軸于H，如圖1，
∵A（1，0）、B（0，-2），
∴OA=1，OB=2，
∵線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∵∠BAO+∠CAH=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAH，
在△ABO和△CAH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CHA}\\{∠ABO=∠CAH}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAH，
∴CH=OA=1，AH=OB=2，
∴C（3，-1）；
（2）①拋物線$y=-\frac{1}{2}{x^2}+bx+2$經(jīng)過點C（3，-1），
∴-$\frac{1}{2}$×9+3b+2=-1，解得b=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；
②設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
把B（0，-2），C（3，-1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-2}\\{3m+n=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{3}}\\{n=-2}\end{array}\right.$
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-2，
設(shè)直線BC與x軸的交于點G，如圖2，
當(dāng)y=0時，$\frac{1}{3}$x-2=0，解得x=6，則G（6，0），
∴BG=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
在y軸上取一點K，作KS⊥BC于S，KM∥BC交拋物線于M，使KS=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，如圖2，
∵∠BOG=∠BSK=90°，∠OBG=∠SBK，
∴△BOG∽△BSK，
∴KB：BG=KS：OG，即KB：2$\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$：6，解得KB=$\frac{5}{3}$，
把直線BC向上平移$\frac{5}{3}$個單位得到直線KM，則直線KM的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=\frac{4}{9}}\end{array}\right.$，此時M點的坐標(biāo)為（-2，-1）或（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{9}$）；
把直線BC向下平移$\frac{5}{3}$個單位得到直線K′M′，則直線K′M′的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{11}{3}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{11}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{409}}{6}}\\{y=\frac{-65+\sqrt{409}}{18}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{409}}{6}}\\{y=\frac{-65-\sqrt{409}}{18}}\end{array}\right.$，此時M′點的坐標(biāo)為（$\frac{1+\sqrt{409}}{6}$，$\frac{-65+\sqrt{409}}{18}$）或（$\frac{1-\sqrt{409}}{6}$，$\frac{-65-\sqrt{409}}{18}$），
綜上所述，滿足條件的點M的坐標(biāo)為（-2，-1）或（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{9}$）或（$\frac{1+\sqrt{409}}{6}$，$\frac{-65+\sqrt{409}}{18}$）或（$\frac{1-\sqrt{409}}{6}$，$\frac{-65-\sqrt{409}}{18}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、切線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握直線平移的規(guī)律；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式，利用相似比計算線段的長；能通過解方程組求拋物線與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)．