Question

20．如圖，已知直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)，向點(diǎn)A以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以 $\sqrt{2}$個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求拋物線的解析式；
（2）問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為直角三角形；
（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M，連接BP，BM，MQ，問(wèn)：是否存在t的值，使以B，Q，M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先由直線AB的解析式為y=-x+3，求出它與x軸的交點(diǎn)A、與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）由直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可知：∠QAP=45°，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t，然后再圖①、圖②中利用特殊銳角三角函數(shù)值列出關(guān)于t的方程求解即可；
（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，可得OP=t，BQ=$\sqrt{2}$（3-t），然后分別從當(dāng)△BOP∽△QBM時(shí)與當(dāng)△BOP∽△MBQ時(shí)，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵y=-x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=3，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
將A（3，0），B（0，3）代入y=-x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，
∴∠QAP=45°．
如圖①所示：∠PQA=90°時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．
在Rt△PQA中，$\frac{QA}{PA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即：$\frac{\sqrt{2}t}{3-t}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：t=1；
如圖②所示：∠QPA=90°時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．
在Rt△PQA中，$\frac{PA}{QA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即：$\frac{3-t}{\sqrt{2}t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：t=$\frac{3}{2}$．
綜上所述，當(dāng)t=1或t=$\frac{3}{2}$時(shí)，△PQA是直角三角形；

（3）如圖③所示：
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則OP=t，BQ=$\sqrt{2}$（3-t）．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）．
∴MB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
過(guò)點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，
∵M(jìn)H=NH=1，OB=OA=3，
∴∠MBH=∠ABO=45°，
∴∠MBQ=90°，
當(dāng)△BOP∽△QBM時(shí)，$\frac{MB}{OP}=\frac{BQ}{OB}$，即：$\frac{\sqrt{2}}{t}=\frac{\sqrt{2}（3-t）}{3}$，整理得：t²-3t+3=0，
△=3²-4×1×3＜0，無(wú)解：
當(dāng)△BOP∽△MBQ時(shí)，$\frac{BM}{OB}=\frac{BQ}{OP}$，即：$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}（3-t）}{t}$，解得t=$\frac{9}{4}$．
∴當(dāng)t=$\frac{9}{4}$時(shí)，以B，Q，M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)、平行四邊形、相似三角形的綜合應(yīng)用．利用含字母t的式子表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，根據(jù)圖形的性質(zhì)建立關(guān)于字母t的方程是解題的關(guān)鍵．