Question

如圖，在?ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，∠BAD=60°，點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿A-B-C運動，點Q從點A出發(fā)，以acm/s的速度沿A-D-C運動，點P、Q從A點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)點C時，另一點也停止運動，設(shè)運動的時間為t．s．
（1）求證：BD⊥AD．
（2）若a=1，以點P為圓心，PB為半徑畫⊙P，以點Q為圓心，QD為半徑畫⊙Q，當(dāng)⊙P和⊙Q相切時，求t的所有可能值．
（3）若在點P、Q運動的過程中總存在t，使PQ∥BD，試求a的值或范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題,解一元二次方程-因式分解法,等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,平行四邊形的性質(zhì),相切兩圓的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）取AB的中點E，連接DE，可以證明△ADE是等邊三角形，從而可以求出∠ADE、∠BDE，進而可以求出∠ADB=90°，即AD⊥BD．
（2）分0＜t＜6和6≤t≤9兩種情況討論，根據(jù)相切兩圓的性質(zhì)建立等量關(guān)系，就可求出t的值．
（3）①若點Q在AD上，點P在AB上，由兩條線平行推出兩個三角形相似，進而得到邊成比例，即可求出a=1；②若點Q在DC上，點P在BC上，同理可得t=-

18

a-4

．由6＜t＜9得6＜-

18

a-4

＜9，從而解得1＜a＜2．

解答：（1）證明：取AB的中點E，連接DE，如圖1所示．
∵AB=12，AD=6，
∴AE=AD=6．
∵∠A=60°，
∴△ADE是等邊三角形．
∴DE=AD=AE=6，∠ADE=∠AED=60°．
∴DE=BE．
∴∠EDB=∠EBD．
∴∠EDB=30°．
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD．
（2）解：①當(dāng)0＜t＜6時，
點Q在AD上，點P在AB上，
此時AQ=t，QD=6-t，AP=2t，PB=12-2t．
∴QD＜PB．
∵

AQ

AD

=

t

6

，

AP

AB

=

2t

12

=

t

6

，
∴

AQ

AD

=

AP

AB

．
∵∠QAP=∠DAB，
∴△AQP∽△ADB．
∴∠AQP=∠ADB=90°．
∵AQ=t，AP=2t，
∴QP=

3

t．
Ⅰ．若⊙Q與⊙P相內(nèi)切，如圖2所示，
則

.

PB-QD

.

=PQ
∵QD＜PB，
∴PB-QD=PQ．
∴（12-2t）-（6-t）=

3

t．
解得：t=3

3

-3．
Ⅱ．若⊙Q與⊙P相外切，如圖3所示，
則PB+QD=PQ．
∴（12-2t）+（6-t）=

3

t．
解得：t=9-3

3

．
②當(dāng)6≤t≤9時，
點Q在DC上，點P在BC上，
此時QD=t-6，CQ=18-t，BP=2t-12．
過點Q作QH⊥BC，垂足為H，連接PQ，如圖4所示．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠C=∠A=60°．
∴sin∠QCH=

QH

QC

-=

QH

18-t

=

3

2

．
QH=

3 (18-t)

2

．
同理：CH=

18-t

2

．
∵CP=18-2t，
∴PH=CH-CP=

3t

2

-9．
∵QH⊥BC，即∠PHQ=90°，
∴PQ²=QH²+PH²
=[

3 (18-t)

2

]²+[

3t

2

-9]²
=3t²-54t+324．
Ⅰ．若⊙Q與⊙P相外切，
則PQ=PB+QD=3t-18．
∴PQ²=3t²-54t+324=（3t-18）²．
整理得：t²-9t=0．
解得；t₁=0（舍去），t₂=9．
Ⅱ．若⊙Q與⊙P相內(nèi)切，
則PQ=

.

PB-QD

.

=

.

(2t-12)-(t-6)

.

=

.

t-6

.

．
∴3t²-54t+324=（t-6）²．
整理得：t²-21t+144=0．
∵21²-4×1×144=-135＜0，
∴方程無實數(shù)根．
∴不存在．
綜上所述：當(dāng)⊙Q與⊙P相切時，t的值為3

3

-3、9-3

3

、9．
（3）解：①若點Q在AD上，點P在AB上，PQ∥BD，如圖1所示，
此時0＜at＜6，0＜t＜6．
∵PQ∥BD，
∴△APQ∽△ABD．
∴

AP

AB

=

AQ

AD

．
∴

2t

12

=

at

6

．
∴a=1．
此時0＜at＜6，符合要求．
②若點Q在DC上，點P在BC上，PQ∥BD，如圖5所示，
此時6＜at＜18，6＜t＜9．
∵PQ∥BD，
∴△CPQ∽△CBD．
∴

CP

CB

=

CQ

CD

．
∴

18-2t

6

=

18-at

12

．
整理得：（a-4）t=-18．
∴t=-

18

a-4

．
∵6＜t＜9，
∴6＜-

18

a-4

＜9．
∴1＜a＜2．
此時1×6＜at＜2×9，即6＜at＜18，符合要求．
綜上所述：滿足條件的a的范圍是1≤a＜2．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、兩圓相切的性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程、根的判別式、解不等式等知識，綜合性非常強，有一定的難度．