Question

【題目】如圖，已知拋物線m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的頂點(diǎn)A在x軸上，并過點(diǎn)B（0，1），直線n：y=﹣x+與x軸交于點(diǎn)D，與拋物線m的對稱軸l交于點(diǎn)F，過B點(diǎn)的直線BE與直線n相交于點(diǎn)E（﹣7，7）．

（1）求拋物線m的解析式；

（2）P是l上的一個動點(diǎn)，若以B，E，P為頂點(diǎn)的三角形的周長最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）拋物線m上是否存在一動點(diǎn)Q，使以線段FQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x+1；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，）；（3）點(diǎn)Q坐標(biāo)為（9，4）或（15，16）．

【解析】試題分析：（1）拋物線頂點(diǎn)在x軸上則可得出頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，將解析式進(jìn)行配方就可以求出a的值，繼而得出函數(shù)解析式；（2）作出B點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′，連接EB′交l于點(diǎn)P，如圖所示,，三角形BEP為頂點(diǎn)的三角形的周長最小，再求出直線B′E的解析式，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）先求出直線FD的解析式，結(jié)合以線段FQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D這個條件，明確∠FDG=90°，得出直線DG解析式的k值與直線FD解析式的k值乘積為﹣1，利用D點(diǎn)坐標(biāo)求出直線DG解析式，將點(diǎn)Q坐標(biāo)用拋物線解析式表示后代入DG直線解析式可求出點(diǎn)Q坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的頂點(diǎn)A在x軸上

∴配方得y=a（x﹣3）2﹣9a+1，則有﹣9a+1=0，解得a=

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），拋物線m的解析式為y=x2﹣x+1；

（2）∵點(diǎn)B關(guān)于對稱軸直線x=3的對稱點(diǎn)B′為（6，1）

∴連接EB′交l于點(diǎn)P，如圖所示

設(shè)直線EB′的解析式為y=kx+b，把（﹣7，7）（6，1）代入得

解得，

則函數(shù)解析式為y=﹣x+

把x=3代入解得y=，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，）；

（3）∵y=﹣x+與x軸交于點(diǎn)D，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（7，0），

∵y=﹣x+與拋物線m的對稱軸l交于點(diǎn)F，

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（3，2），

求得FD的直線解析式為y=﹣x+，若以FQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，可得∠FDQ=90°，則DQ的直線解析式的k值為2，

設(shè)DQ的直線解析式為y=2x+b，把（7，0）代入解得b=﹣14，則DQ的直線解析式為y=2x﹣14，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，），把點(diǎn)Q代入y=2x﹣14得

=2a﹣14

解得a1=9，a2=15．

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（9，4）或（15，16）．